El tiempo que tarda un objeto en caer al sol está dado por
[matemática] T = \ pi \ frac {d ^ {\ frac {3} {2}}} {\ sqrt {8 GM_s}} = 64.5629 \ text {días} [/ math].
¿Cómo llegué a esa respuesta y cómo demonios [math] \ pi [/ math] llegó allí?
- ¿Cuál es la velocidad más lenta para salir de la gravedad de la Tierra?
- Si la gravedad de la superficie del Sol fuera menor, ¿la traducción de la Tierra sería más lenta y los años serían más largos?
- Si continuamos cortando pequeños trozos de la Tierra y disparándolos al espacio, ¿cuándo comenzaría la Tierra a perder su fuerza gravitacional?
- Si todos los humanos en la Tierra fueran comprimidos en una bola y la bola fuera colocada cerca de la Tierra en el espacio, ¿tendría suficiente gravedad para mover la Tierra?
- ¿Es razonable suponer que la velocidad terminal se ve directamente afectada por la gravedad y la atmósfera? Si eso es así, ¿la velocidad terminal en un planeta duplicaría el tamaño de la Tierra y con la atmósfera exacta a medida que la Tierra aumentara en consecuencia?
Cuando me encontré con esta pregunta por primera vez, creí que sería capaz de descifrar la respuesta en media hora. Oh chico … estaba equivocado.
Retrocedamos un poco y obtengamos la respuesta y tal vez veamos qué está pasando … (advertencia / bienvenida: Matemáticas por delante 🙂)
Supongamos que la tierra y el sol se encuentran en el eje xy que d es la distancia entre ellos. Además, en el tiempo t = 0, que la tierra se ubique en x = 0 y el sol en x = d.
Sabemos por la Ley de Gravitación de Newton que la fuerza en la tierra debida al sol está dada por
[matemáticas] F = \ frac {GM_sm_e} {r ^ 2} [/ matemáticas]
dónde
[matemáticas] F [/ matemáticas]: fuerza en newtons;
[matemática] G [/ matemática]: constante gravitacional ([matemática] 6.67384 \ veces 10 ^ {- 11} \ text {kg} ^ {- 1} \ text {m} ^ 3 \ text {s} ^ {- 2 }[/matemáticas]);
[matemática] M_s [/ matemática]: masa del sol ([matemática] 1.989 \ veces 10 ^ {30} \ text {kg} [/ matemática]);
[math] m_e [/ math]: masa de la tierra ([math] 5.972 \ times 10 ^ {24} \ text {kg} [/ math]);
[matemáticas] r [/ matemáticas]: distancia entre la tierra y el sol en metros.
En [math] t = 0, r = d = 1.496 \ times 10 ^ {11} \ text {m} [/ math].
Resolvamos esta ecuación para encontrar el tiempo necesario para caer al sol:
[matemáticas] F = m_ea = \ frac {GM_sm_e} {(dx) ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica a = \ frac {GM_s} {(dx) ^ 2} [/ matemáticas].
Ahora, también sabemos que
[matemáticas] a = \ frac {dv} {dt} = \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} [/ matemáticas]
y también podemos escribir
[matemáticas] \ frac {dv} {dt} = \ frac {dv} {dx} \ times \ frac {dx} {dt} = \ frac {dv} {dx} \ times v [/ math]
Hicimos el último paso para poder separar las variables y resolver la ecuación diferencial. Ahora
[matemáticas] v \ frac {dv} {dx} = \ frac {GM_s} {(dx) ^ 2} [/ matemáticas].
Moviendo dx hacia el lado derecho e integrando, obtenemos
[matemáticas] \ int v \, dv = \ int \ frac {GM_s} {(dx) ^ 2} dx [/ matemáticas].
Realizando la integración, obtenemos
[matemáticas] \ frac {v ^ 2} {2} = \ frac {GM_s} {(dx)} + C [/ matemáticas]
donde C es la constante de integración. Encontramos C usando la condición conocida de que v = 0 en x = 0, que
[matemáticas] \ implica C = \ frac {-GM_s} {d} [/ matemáticas].
Poniendo este valor de C en la ecuación para v,
[matemáticas] \ frac {v ^ 2} {2} = \ frac {GM_s} {(dx)} – \ frac {GM_s} {d} [/ math];
[matemáticas] v = \ sqrt {2GM_s \ left (\ frac {1} {(dx)} – \ frac {1} {d} \ right)} [/ math];
[matemáticas] \ frac {dx} {dt} = \ sqrt {\ frac {2GM_s} {d}. \ frac {x} {(dx)}} [/ math].
Moviendo dt a la derecha y variables que involucran x a la izquierda e integrando, obtenemos
[matemáticas] \ int_0 ^ d \ sqrt {\ frac {d- x} {x}} dx = \ int_0 ^ T \ sqrt {\ frac {2GM_s} {d}} dt [/ math].
Utilicé Wolfram | Alpha para encontrar la integral indefinida del lado izquierdo para obtener lo siguiente:
[matemáticas] \ izquierda. \ sqrt {x (dx)} – \ frac {d} {2} tan ^ {- 1} \ left (\ frac {(d-2x)} {2 \ sqrt {x (d – x)}} \ right ) \ right \ vert_0 ^ d [/ math] [math] = \ sqrt {\ frac {2GM_s} {d}} T [/ math].
Tanto en [math] x = 0 [/ math] como [math] x = d [/ math], el término dentro de los paréntesis [math] tan ^ {- 1} () [/ math] contiene una división por cero. Eso no es tan malo como [math] tan ^ {- 1} (\ pm \ infty) [/ math] está definido. Y para saber si la división por cero conduce a una [matemática] + \ infty [/ matemática] o una [matemática] – \ infty [/ matemática], necesitamos evaluar el LHS en [matemática] x = 0 ^ + [ / math] y [math] x = d ^ – [/ math]:
[matemáticas] \ izquierda. \ sqrt {x (dx)} – \ frac {d} {2} tan ^ {- 1} \ left (\ frac {(d-2x)} {2 \ sqrt {x (d – x)}} \ right ) \ right \ vert_ {0 ^ +} ^ {d ^ -} [/ math].
El término [matemática] \ sqrt {x (dx)} [/ matemática] es igual a [matemática] 0 ^ + [/ matemática] en [matemática] x = 0 ^ + [/ matemática] y [matemática] x = d ^ -[/matemáticas],
[matemáticas] \ por lo tanto LHS = – \ frac {d} {2} tan ^ {- 1} (- \ infty) + \ frac {d} {2} tan ^ {- 1} (+ \ infty) [/ math ]
[matemáticas] = – \ frac {d} {2} (- \ frac {\ pi} {2}) + \ frac {d} {2} (+ \ frac {\ pi} {2}) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ pi \ frac {d} {2} [/ matemáticas].
Al unir LHS y RHS, obtenemos
[matemáticas] \ pi \ frac {d} {2} = \ sqrt {\ frac {2GM_s} {d}} T [/ matemáticas].
Al reorganizar las variables, obtenemos
[matemáticas] T = \ pi \ frac {d ^ {\ frac {3} {2}}} {\ sqrt {8GM_s}} [/ matemáticas].
Poniendo en los valores, obtenemos
[matemática] T = 5578237 \ text {segundos} = 64.5629 \ text {días} [/ math].
[Math] \ pi [/ math] aparece en los cálculos debido a la función [math] tan ^ {- 1} [/ math]. Sin embargo, físicamente no está claro qué lo trae [o simplemente no puedo verlo todavía; estoy tratando de encontrar una explicación alternativa que la que se basa en las leyes de Kepler o el movimiento circular. Quiero decir, no utilicé las leyes de Kepler o la suposición de una órbita circular / elíptica para encontrar la respuesta]. Tal vez una relación entre [matemáticas] v [/ matemáticas] y [matemáticas] t [/ matemáticas] podría arrojar algo más de luz.
Dejaré esta respuesta ahora y volveré y la actualizaré cuando tenga más tiempo.
Aquí hay un programa de Python para encontrar el mismo valor numérico ejecutando una simple “simulación” paso a paso …
# script to calculate time to reach sun... from math import sqrt from time import time # physical constants/values G = 6.67384e-11 # gravitational constant MS = 1.98855e30 # mass of sun esd = 149597870700.0 # earth-sun distance in meters # program variables n = 1000000 myconst1 = (G*MS*n*n)/(esd*esd) myconst2 = esd/n def getA(k): """ acceleration at distance (esd*k/n) from sun""" ak = myconst1/pow(nk,2) return ak def getV(v, a, t): """ velocity at distance (esd*k/n) from sun""" vk = v + a*t return vk def getVAT(k, vold, aold, told): """ time to get from position (esd*k/n) to (esd*(k+1)/n)""" vk = getV(vold, aold, told) ak = getA(k) tk = (sqrt(vk*vk + 2*ak*myconst2) - vk)/ak return vk, ak, tk stime = time() sts, v, a, t = 0, 0, 0, 0 for x in range(n): v, a, t = getVAT(x, v, a, t) sts += t print "Travel time = %.2f seconds\nDays = %5.3f"%(sts, sts/(60.0*60*24)) print "Computation time = %5.4f seconds"%(time() - stime) Salida
Tiempo de viaje = 5578753.47 segundos Días = 64.5689059 Tiempo de cómputo = 0.9994 segundos
Este contenido fue derivado de MotleyTech, con permiso del autor.
Enlace a la página original – Cayendo al sol
