Los modos vibratorios normales se transforman como representaciones irreducibles del grupo de puntos.
Advertencia: no conozco (todavía) la teoría de la representación, por lo que los matemáticos quedarán insatisfechos.
Hay un procedimiento bastante estándar para descubrir qué representaciones corresponden a modos vibracionales, que describiré usando un ejemplo simple.
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El agua ([matemática] H_2O [/ matemática]) tiene simetría [matemática] C_ {2v} [/ matemática]. Esto es porque:
a. Es plano (triatómico)
si. Tiene un eje doble de simetría: habitualmente eje [matemático] z [/ matemático], línea que pasa a través del oxígeno que es perpendicular a la línea que conecta los hidrógenos.
C. Los planos [matemática] xz [/ matemática] y [matemática] yz [/ matemática] actúan como planos espejo.
El sistema de coordenadas que usaré se da a continuación:
Es triatómico y, por lo tanto, tiene [matemáticas] 3N = 9 [/ matemáticas] grados de libertad: tres traslaciones, tres vibraciones y tres rotaciones.
La tabla de caracteres para el grupo de puntos [math] C_ {2v} [/ math] es: 
(Tomado de la tabla de caracteres para el grupo de puntos C2v. Por cierto, excelente sitio web, tiene todas las tablas).
Es fácil verificar que el vector unitario a lo largo de [matemática] x [/ matemática] tiene simetría [matemática] B_1 [/ matemática] (no se ve afectada por la identidad, se invierte por rotación a lo largo de [matemática] z [/ matemática], no se ve afectada por la reflexión en [matemático] xz [/ matemático] plano, invertido por reflexión en [matemático] yz [/ matemático] plano). De manera similar para los vectores unitarios a lo largo de [math] y [/ math] y [math] z [/ math].
Consideremos un sistema de coordenadas centrado a la izquierda [matemáticas] H [/ matemáticas], y apliquemos las operaciones de simetría al vector unitario a lo largo de [matemáticas] x [/ matemáticas].
[matemáticas] E [/ matemáticas] (identidad) = Sin efecto, entonces 1
[matemática] C_2 [/ matemática] (Rotación de 180 grados sobre [matemática] z [/ matemática]) = El centro de coordenadas se aleja de modo 0
Reflexión en [matemáticas] xz [/ matemáticas] = 0
Reflexión en [math] yz [/ math] = -1 (como signo voltea).
Entonces obtenemos el par ordenado (1,0,0, -1)
Repetir en otras direcciones, y luego en el otro H y O nos da la simetría de todos los posibles desplazamientos nucleares. Sumamos los números bajo cada operación de simetría para recuperar (9, -1,3,1). Por cierto, hay una forma más rápida de lograr esto: encontrar el número de átomos no movidos bajo cada operación de simetría ((3,1,3,1) en este caso) y sumar las representaciones irreducibles correspondientes al movimiento x, y, z ((3 , -1,1,1) en este caso). Luego, multiplique los términos correspondientes por pares- (9, -1,3,1) en este caso.
Esto corresponde a las simetrías de todos los posibles desplazamientos nucleares. Se puede representar como una suma de las representaciones irreducibles (que si observa con cuidado, son ortogonales entre sí y, por lo tanto, forman una base ortogonal completa para todas las operaciones en la molécula). La ortogonalidad me facilita la vida, ya que puedo tratarlos como vectores y escribir [matemática] 3A_1 + A_2 + 3B_1 + 2B_2 = (9, -1,3,1) [/ matemática].
Sin embargo, las traducciones de la molécula a lo largo de [math] x, y, z [/ math] tienen simetrías [math] A_1, B_1, B_2 [/ math]. Las rotaciones usan simetrías [matemáticas] A-2, B_1, B_2 [/ matemáticas], dejando [matemáticas] 2A_1 + B_1 [/ matemáticas] para las vibraciones. Esto significa que hay dos modos normales de vibración no degenerados con simetría [matemática] A_1 [/ matemática] (no degenerada como [matemática] A_1 [/ matemática] en sí misma es una representación irreducible no degenerada: tiene 1 bajo identidad / [ operación matemática] E [/ matemática]) y un modo vibratorio de simetría [matemática] B_1 [/ matemática]. Los modos en cuestión son lo suficientemente simples como para identificar: [matemática] 2A_1 [/ matemática] son la curva simétrica (curva asimétrica es rotación) y el estiramiento simétrico de los enlaces [matemáticos] OH [/ matemáticos]. 
[matemática] A_1 [/ matemática] vibraciones de simetría.
y [math] B_1 [/ math] es el estiramiento antisimétrico. 
[matemática] B_1 [/ matemática] vibración de simetría.
Esa es la mayor parte de la historia. Puede repetir el procedimiento para cualquier molécula para encontrar los modos vibratorios. Las representaciones irreducibles degeneradas ([matemática] E, T [/ matemática] etc. corresponden a los modos degenerados-2 o 3 respectivamente).
La historia completa tiene un poco más. Todos los modos vibratorios no están activos por IR. Para que un modo sea IR activo, necesita un momento de transición distinto de cero [matemática] \ langle f | \ mu | i \ rangle [/ math], donde [math] f [/ math] es el estado final, [math] i [/ math] el estado inicial y [math] \ mu [/ math] el momento dipolar [math] = q (x \ hat {i} + y \ hat {j} + z \ hat {k}) [/ math]. La integral de interés solo será distinta de cero, cuando el modo normal corresponde a una / algunas de las direcciones [math] x, y, z [/ math], ya que de lo contrario el integrando será una función impar. En [matemáticas] H_2O [/ matemáticas] esto era cierto para todos los modos vibratorios, pero esto no es necesariamente cierto para todas las moléculas. El metano tiene modos vibratorios de simetría [matemática] A_1 + E + 2T_2 [/ matemática] (para el grupo de puntos tetraédrico [matemático] T_d [/ matemático]). Sin embargo, solo los modos [matemática] T_2 [/ matemática] corresponden a las direcciones [matemática] x, y, z [/ matemática] (de la tabla de caracteres) y, por lo tanto, los modos [matemático] A_1 + E [/ matemático] están activos por IR . Por lo tanto, el metano tiene solo dos líneas en el espectro IR, que proviene de los dos modos degenerados [matemáticos] T_2 [/ matemáticos] triples. Por lo tanto, solo 6 de 9 vibraciones aparecerán en IR.
Afortunadamente, tenemos la espectroscopía Raman, que se basa en la polaridad y, por lo tanto, solo se muestra para modos con simetría cuadrática (la misma simetría que [math] x ^ 2, y ^ 2, z ^ 2, xy, yz, zx [/ math] y sus combinaciones lineales). El espectro Raman de metano revela las vibraciones [matemáticas] A_1 + E [/ matemáticas] junto con las vibraciones [matemáticas] 2T_2 [/ matemáticas]. Sin embargo, como regla general, no es necesario que aparezcan todas las vibraciones, y el mejor camino a seguir es encontrar modos y verificar las simetrías de las tablas de caracteres.
