Si la temperatura de un objeto siempre se puede aumentar, ¿sus partículas alguna vez acelerarán más allá de la velocidad de la luz?

No. Exactamente el mismo “no” que todo el mundo siempre recibe cada vez que alguien trata de sortear el límite de la velocidad de la luz.

Los detalles de este “no” particular: “temperatura” es solo una forma estadística de hablar sobre la distribución de las energías de las partículas en el sistema, que a su vez es solo la suma de la energía cinética de las partículas. Un gas a alta temperatura no es más que muchos objetos que se mueven muy, muy rápido, pero no pueden exceder la velocidad de la luz por la misma razón que otros objetos no pueden exceder la velocidad de la luz. Vea las 83 respuestas existentes a ¿Cuál es la razón fundamental por la que no se puede romper la velocidad de la luz? ¿Por qué el universo quiere preservar la barrera superior a la velocidad de la luz tanto que ralentice el tiempo fácilmente en lugar de ver que se rompe la barrera de la velocidad?

Las propiedades de la termodinámica se definieron para partículas que eran rápidas pero aún no relativistas, y para temperaturas ultra altas, las leyes de los gases se descomponen un poco. Obtiene un plasma relativista, que requiere algunas correcciones a las leyes de gases. Pero esas leyes de gas no son fundamentales. Los límites impuestos por la relatividad son.

Ok, lo admito, es complicado.
De hecho, hay diferentes definiciones de temperatura. Supongo que está utilizando el clásico, que establece que “temperatura” es una cantidad que mide la energía cinética media de las moleculas.
Pero la física moderna tiene en cuenta el proceso de medición en sí mismo, la forma en que obtiene su lectura de temperatura es esencial para definir ‘más caliente’. Volverse cada vez más caliente no significa que su molecue se moverá más y más rápido, lo que eventualmente saltará a través de la velocidad de la luz. Simplemente significa que el objeto más caliente ‘dará’ energía térmica al objeto más frío.
Entonces, estrictamente hablando, de hecho, el objeto más caliente tiene temperatura negativa (energía finita, pero distribución extraña de la velocidad), porque puede dar energía térmica positiva al objeto de temperatura infinita (energía infinita, pero distribución de velocidad normal), debido a un razonamiento estadístico complicado .
Si acordamos ahora reducir nuestra discusión y enfocarnos solo en la temperatura positiva, entonces más caliente significa mayor energía de molecue con respecto a la teoría especial. Molecue no necesita acelerar hasta el infinito para calentarse más y más. Su energía se ‘almacena’ en masa en lugar de velocidad. Esta energía de masa puede transformarse durante la colusión elástica de las moleculas, por lo tanto, puede transformarse como energía térmica.
Entonces, sí, puedes calentar un objeto infinitamente, pero no, ni un solo molecue se encontrará con la velocidad de la luz.

No. Imaginemos un caso más simple. Tengo una sola partícula y continuamente le agrego energía de alguna manera (no importa cómo). El objeto simplemente se acerca asintóticamente a la velocidad de la luz. A medida que se acerca a la velocidad de la luz, se requiere mucha más energía para acercarse aún más a la velocidad de la luz. Eventualmente, está agregando cantidades increíbles de energía para obtener aumentos insignificantes en la velocidad, pero nunca supera la velocidad de la luz.

Isaac Asimov una vez hizo algunos cálculos para determinar exactamente qué tan caliente era posible que un objeto se pusiera. Resulta que antes de que un cuerpo pueda realmente calentarse, se convierte en supernova.