La idea de la teoría del conteo de potencia en el campo cuántico (QFT) fue introducida por Freeman Dyson en 1948. Implica los campos cuánticos que constituyen la QFT y sus constantes de acoplamiento y parámetros de masa.
Dyson introdujo la idea del conteo de poder como una forma directa de determinar si un QFT determinado definido en una dimensión específica del espacio-tiempo será renormalizable o no.
En otras palabras, sería posible liberar el QFT de infinitos y obtener un valor finito para una cantidad medida físicamente, como el momento dipolar magnético de un electrón.
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Tomemos por ejemplo la electrodinámica cuántica (QED) en dimensiones (3 + 1). Todos los términos en la teoría están compuestos de campos cuánticos de tal manera que la suma de la dimensión de masa de todos los campos en cada término se suman a la dimensionalidad del espacio-tiempo.
Para el término de interacción, que incluye el fernión y los campos cuánticos de bosones del medidor U (1), la dimensión de masa del acoplamiento del medidor debe ser cero. El acoplamiento del medidor proporciona acoplamiento entre el electrón y el fotón en QED. Es la carga eléctrica en el electrón.
El acoplamiento del medidor con la dimensión de masa de cero o un número positivo hace que la teoría se renormalice superficialmente en términos del conteo de potencia de Dyson. Si la dimensión de masa es negativa, la teoría no sería renormalizable, incluso en principio.
QED es renormalizable perturbativamente a baja energía para todos los bucles. Pero debido al flujo del grupo de renormalización del acoplamiento del medidor, se vuelve perturbativamente no renormalizable a alta energía incluso en un bucle.
También proporciona una explicación simple para el fenómeno aparentemente milagroso: ¿por qué QED en (3 + 1) dimensiones tiene solo 3 términos en su lagrangiano con dimensiones de masa de campos cuánticos que suman 4 para cada término?
El conteo de energía proporciona una respuesta. Cualquier término adicional requeriría una constante de acoplamiento con una dimensión de masa negativa y eso haría que la teoría no se renormalizara incluso en 1 bucle.
La renormalización superficial también significa que la teoría podría ser renormalizable en un bucle Feynman pero no en bucles superiores. Por lo tanto, no garantiza la renormalización de un QFT.
Es instructivo mirar el ejemplo de la gravedad cuántica. Se puede obtener una teoría cuántica de la gravedad de campo en (3 + 1) dimensiones cuantificando la teoría general de la relatividad (GR) de Einstein.
En ausencia del término fuente para la gravedad, obtenido al establecer el lado derecho (tensor de momento de energía que codifica la influencia gravitacional de toda la materia y la radiación) de GR igual a cero. Tal teoría de la gravedad se llama teoría libre de fuentes.
Esta teoría se renormaliza superficialmente a 1 ciclo de Feynman por el método de conteo de potencia. Esta predicción es confirmada por el cálculo real. Pero la teoría no es renormalizable a 2 bucles o más.
La cromodinámica cuántica (QCD) en dimensiones (3 + 1) en el límite de los quarks sin masa es otro ejemplo más. La teoría se renormaliza superficialmente por el conteo de poder de Dyson. Pero el proceso de renormalización conduce a una ruptura de simetría anómala y la teoría no se puede renormalizar por completo en un bucle. Esto fue descubierto en 1969 por Adler, Bell y Jackiw.
Esta anomalía conduce a la no conservación de la corriente de isospin del vector axial en QCD que a su vez conduce a la desintegración de la digamma del mesón pi neutro descubierto por primera vez en 1948.
Entonces, uno concluye que el conteo de potencia de campos cuánticos y acoplamientos de medidores es un método útil para predecir la renormalización de una QFT.
Aunque hay que tener cuidado de tener en cuenta las limitaciones de este método elegante y potente, no se ha encontrado un método mejor en los últimos 70 años.
