Tenemos la ley de Faraday
∮E⃗ ⋅dl → = −ddt∫B⃗ .dA → [matemática] ∮E → ⋅dl → = −ddt∫B → .dA → [/ matemática]
En el LHS hay una integral de línea que se puede evaluar en sentido horario o antihorario; en el RHS, una integral de superficie que tiene una opción de dos normales a la superficie diferencial dA → [matemática] dA → [/ matemática]. Por convención, utilizamos la regla de la mano derecha para elegir una dirección de la normalidad en la que todos podemos estar de acuerdo y que sea consistente para una dirección elegida de la integral de línea. Entonces, si elegimos el LHS que se evaluará en el sentido de las agujas del reloj, las normales de superficie en el RHS apuntarán a la pantalla.
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Ahora suponga que B⃗ [matemáticas] B → [/ matemáticas] apunta a la pantalla y aumenta con el tiempo. Para mantener las cosas claras, elegimos las normales a la superficie apuntando más cerca en la misma dirección que el campo magnético allí, de modo que al evaluar la integral de la superficie terminaremos con un número positivo. Debido al signo menos frente a la integral de la superficie, obtendremos un número negativo en el RHS.
Ahora sabemos que el LHS también debe ser negativo para que coincida con el RHS, y la integral de la línea se evalúa en sentido horario. Por lo tanto, el campo eléctrico E⃗ [matemática] E → [/ matemática] generalmente apunta en la dirección opuesta a d⃗ l [matemática] d → l [/ matemática] en sentido antihorario que impulsa una corriente inducida en sentido antihorario, generando un campo magnético que está en la dirección opuesta al campo magnético cambiante que lo causó.
Entonces, el signo negativo en la ley de Faraday junto con la convención de la regla de la mano derecha es consistente con lo que se observa físicamente, incluida la conservación de la energía. Si no hubiera un signo menos, esto revertiría el campo eléctrico inducido en el sentido de las agujas del reloj, impulsando una corriente en el sentido de las agujas del reloj. La dirección de su campo magnético cambiante se sumaría al campo magnético cambiante original, produciendo un efecto de retroalimentación positiva y la creación de energía a partir de la nada.
La respuesta del libro de texto es que el signo menos en la ley de Faraday asegura que el EMF inducido funciona contra el cambio que lo causa, resumido en la ley de Lenz, y que la energía se conserva. Sin embargo, es importante tener en cuenta que si utilizamos una convención de tornillos para zurdos en su lugar, no sería necesario el signo menos en el RHS en la ley de Faraday.
Además, dado que la ley de Faraday es parte de las ecuaciones de Maxwell, uno puede generalizar la pregunta de OP como:
En el contexto del electromagnetismo clásico, demuestre que las ecuaciones de Maxwell son consistentes con el principio de conservación de la energía.
En el caso de las ecuaciones de Maxwell, uno puede usar el teorema de Poynting (que se deduce de las ecuaciones de Maxwell) para argumentar que hay un balance de energía local para el campo electromagnético. Citando el teorema de Poynting en palabras de Wikipedia:
La tasa de transferencia de energía (por unidad de volumen) desde una región del espacio es igual a la tasa de trabajo realizado en una distribución de carga más el flujo de energía que sale de esa región.
También para una prueba más matemática puede consultar …
http://en.m.wikipedia.org/wiki/F…
