Diferentes físicos quieren decir cosas diferentes cuando hablan de la longitud de Planck. Aquí están mis dos centavos por lo que valen. La respuesta es un poco larga, ya que la pregunta es en realidad mucho menos inocente de lo que parece, pero tengan paciencia conmigo: ¡podría valer la pena!
Primero respondamos una pregunta bastante inocua: ¿cómo medimos una longitud físicamente Y sin hacer suposiciones adicionales sobre el comportamiento de los objetos físicos ?
Según Einstein (y el sentido común de casi cualquier homo sapiens), medimos la distancia en comparación: si tenemos una varilla de medición y estamos tratando de medir la distancia entre dos puntos, simplemente verificamos cuántas copias, cabeza- a la cola, de esta barra encaja dentro de esa distancia. Entonces, cuando decimos que la distancia entre A y B es 5, queremos decir que es cinco veces el tamaño de nuestra varilla de medición.
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Ahora, ¿qué sucede si la distancia entre A y B no es un entero ordenado como 5? Rompemos la barra en barras más pequeñas, preferiblemente de igual tamaño (es decir, pueden superponerse perfectamente entre sí) de modo que la distancia entre A y B ahora sea de nuevo un número entero, pero en términos de unidades del tamaño de la nueva barra más pequeña. En física clásica, suponemos que este proceso de romper la barra en barras más pequeñas es posible hasta el fin, es decir, los tamaños de las barras más pequeñas se pueden hacer tan pequeños como queremos que sean.
El análisis anterior aparentemente trivial hace tres supuestos:
1) Podemos hacer varillas exactamente idénticas,
2) Podemos seguir rompiendo una barra para hacerla más pequeña tantas veces como queramos,
3) La longitud de una varilla es la misma sin importar dónde la coloquemos
En esta etapa, cuestionemos nuestros supuestos a la luz de lo que nos dice la física moderna.
¿Podemos hacer varillas idénticas?
¡A menos que conozcamos el estado cuántico exacto de cada componente constituyente en una varilla (que es una pregunta muy circular cuando tratamos con una varilla cuyo tamaño y, por lo tanto, la constitución determina lo que queremos decir con (x, y, z) en una función de onda! !), el teorema de No Clonación nos dice que tal “copia” de barras no es posible. Ahí va la suposición número uno.
¿Podemos seguir rompiendo una barra tantas veces como queramos?
Una vez más, la mecánica cuántica en la forma del principio de incertidumbre (que presento aquí como una justificación heurística en lugar de una prueba matemática), nos dice que no podemos. Romper un objeto en uno más pequeño requiere trabajo y cuanto más definido sea nuestro conocimiento del tamaño del objeto más pequeño, más trabajo requiere. Esta es la buena incertidumbre de momento x incertidumbre de distancia> h_bar.
¿La longitud de una varilla es la misma sin importar dónde la coloquemos?
Aquí, es el turno de la relatividad general. Dado que la geometría del espacio-tiempo no es plana, el tamaño de una unidad elemental de longitud (una barra) no es idéntico en los diferentes puntos del espacio-tiempo. Un aparte histórico: la mayoría de los argumentos originales de Einstein se referían a relojes, barras y marcos inerciales. La “geometrización” de su trabajo se produjo más tarde, en gran parte gracias a la ayuda de Marcel Grossman, y estaba destinada a enmarcar la intuición de Einstein en ecuaciones matemáticas precisas.
En resumen, todos los supuestos que hacemos sobre la medición de la distancia contradicen lo que dicen nuestras teorías físicas actuales. Una objeción obvia a esta conclusión es señalar su circularidad: ¡la mecánica cuántica y la relatividad general NECESITAN el concepto de una distancia para existir y aquí estamos diciendo que estas teorías hacen que tal concepto sea imposible! Eso no es del todo exacto. QM y GR simplemente afirman, respectivamente, que nuestra incertidumbre inevitable sobre la medición de la distancia aumenta cuanto menor es esa distancia y que los “elementos de distancia” (es decir, barras) solo se pueden comparar localmente, es decir, en el mismo punto en el espacio-tiempo. La única razón por la que podemos pensar en términos de medir varillas y hacer las suposiciones 1-3 anteriores es porque, aunque el espacio-tiempo es curvo, es solo ligeramente, es decir, es casi plano en todas partes excepto en la vecindad de los agujeros negros y aunque el tamaño de una barra siempre es incierta, esa incertidumbre es típicamente mucho más pequeña que el (valor esperado) del tamaño de la barra y, por lo tanto, puede ignorarse en los cálculos prácticos.
¿Cómo se relaciona todo esto con la escala de Planck? La escala de Planck es tan pequeña que cualquier objeto físico “atrapado” dentro de ella tendría una densidad tal que se convertiría en un agujero negro y tal que la incertidumbre sobre el tamaño real de ese objeto sea mucho mayor que el tamaño esperado de ese objeto. En estas circunstancias, se hace evidente que hablar de algo “más pequeño” que la escala de Planck no tiene sentido ya que el concepto mismo de una distancia falla.
