¿Cómo se puede investigar en matemáticas?

Su objetivo en la investigación original es hacer algo interesante que nadie más haya hecho.

Empiezas con un tema que te interesa. Trabajarás en ello durante un tiempo, así que no mires algo que no te importa. Si tiene muchos intereses, eso es genial porque puede descubrir que se conectan más tarde.

Incluso antes de comenzar, deberás ponerte al día. Aprende los antecedentes del campo. ¿Cuáles son los teoremas en él? Cual es su historia ¿Por qué la gente lo mira? ¿A qué se conecta? Conozca algo de la investigación actual en el tema. Habla con las personas que hacen esas cosas. Vaya a seminarios o conferencias si puede.

Ahora busca problemas que aún no han sido respondidos. Es bastante fácil encontrar problemas, pero eso no es suficiente. La parte difícil es determinar si los problemas se han respondido antes. Eso generalmente requiere estar entre un grupo de investigadores que pueden determinar colectivamente si es nuevo o no.

También hay “preguntas abiertas” que se han hecho durante un tiempo sin respuesta. Podrías comenzar con esos. Si progresa en uno, eso es genial, pero puede encontrar problemas relacionados interesantes incluso si no lo hace.

Supongamos ahora que tiene un problema o algunos problemas relacionados para trabajar.

Con frecuencia, el problema es de la forma: ¿en qué situaciones se cumple la condición Q ? Conocerá al menos un ejemplo donde se mantiene Q , probablemente más. Puede usar esos modelos para investigar condiciones suficientes P. Tome una prueba de que Q cumple con su modelo y extraiga las condiciones que usa en ese modelo para probar Q. ¿Son necesarias todas esas condiciones? ¿Puedes encontrar un modelo que satisfaga todas las condiciones excepto una y Q sea ​​falso en ese modelo? Si es así, eso está bien. Si no, tiene otra pregunta: ¿son las condiciones restantes suficientes para implicar Q ? Otras preguntas que puede hacer son, además de las condiciones que encontró que implican Q , ¿hay modelos en los que Q tenga que no satisfagan sus condiciones?

A veces, el problema en el que estás trabajando es algo más específico. ¿ Q se mantiene o no en tal o cual situación? Puede buscar tanto una prueba como un contraejemplo. Tome la situación y suponga que Q es falso. Investigue lo que eso implica. Puede encontrar que llegará a una contradicción; genial porque ahora tienes una prueba! Puede encontrar que no hay contradicción y que tiene un ejemplo donde la situación se mantiene pero Q es falsa; genial porque ahora tienes un contraejemplo! Y puede descubrir que no progresa mucho en absoluto; al menos sabes que es un problema difícil.

Una dificultad con la investigación matemática es que no sabes antes de comenzar cómo va a funcionar. En algunas materias, puede escribir un prospecto de investigación que describa lo que va a hacer, los experimentos que va a realizar y el análisis que hará sobre los resultados de esos experimentos. Luego lo llevas a cabo y listo. No puedes hacer eso en matemáticas.

Si está hablando de realizar investigación en India, sus dos mejores opciones, según yo, son ISI y CMI. Me enamoré totalmente de los documentos de preguntas de este último.

Si eso no funciona, no es un callejón sin salida. Lo más importante es su habilidad, un deseo ardiente de perseguir las matemáticas y la perseverancia.

Si puede pasar una hora en su cama nocturna pensando en polinomios, números primos o triángulos, sintiéndose satisfecho sin importar cuál sea la conclusión, incluso ninguno; debes considerarlo con toda seriedad.

Estoy haciendo mi doctorado, pero de ninguna manera soy una autoridad para hablar sobre cómo investigar en matemáticas. Todavía no al menos. El siguiente es un video brillante de Erik Demaine en el que habla sobre este tema.

Realice exámenes de ingreso de doctorado para institutos como ISI, CMI, TIFR, IIT, otras universidades también publiquen anuncios sobre su ingreso de doctorado. Pero en la mayoría de los casos, debe ser un MSc o M.Math en Matemáticas y debe calificar para el examen GATE o NET.

Primero comprende lo que se sabe. Necesita esto para comprender lo que no está resuelto, por qué no está resuelto y en qué teoría probada puede confiar para resolverlo. Sí, lleva un tiempo aprender todo esto y prepararse para resolver un problema abierto significativo. Por lo general, recibiría orientación sobre esto de alguien como un asesor de doctorado que ya sabe lo suficiente como para indicarle una dirección útil en primer lugar. Srinivasa Ramanujan encontró su propio camino.

Al igual que en cualquier otro tema. Haga una conjetura y luego demuestre que está bien o mal A diferencia de la física o la biología, una prueba matemática no requiere mucho más que lápiz y papel.

Trabajar en un problema sin resolver bien conocido.