La velocidad de escape es un cálculo que utiliza la energía total (cinética + potencial, que es negativa) del sistema. Si el sistema está unido, la energía es negativa (la energía potencial domina sobre la cinética, la partícula ocupa una órbita), si no está unida, es positiva (la cinética domina sobre el potencial, la partícula se comporta más como una partícula libre, con órbitas abiertas que comienzan y terminando en el infinito).
Ok, ahora si tienes un sistema gravitacional (en 1D para simplificarlo):
E = K + V
E = [matemáticas] \ frac {1} {2} mv ^ 2-m \ frac {MG} {r} [/ matemáticas]
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Y estás en algún radio r, ¿cuánto tienes que aumentar tu velocidad para hacer que tu energía total sea 0 o más? Para la energía positiva, puede alcanzar el infinito con algo de velocidad sobrante, pero con energía 0 solo puede alcanzar el infinito, ¿qué tan rápido necesita salir de r radialmente para tener E = 0?
E = 0 = [matemáticas] \ frac {1} {2} mv_ {esc} ^ 2- \ frac {mMG} {r} [/ matemáticas]
Entonces [matemáticas] \ frac {1} {2} v ^ 2 = \ frac {MG} {r} [/ matemáticas] (no depende de la masa del objeto)
[matemáticas] v_ {esc} = \ sqrt {\ frac {2MG} {r}} [/ matemáticas]
Para la Tierra, si sales del Polo Norte:
[matemáticas] v_ {esc} = \ sqrt {\ frac {2 \ veces 5.97E24kg \ veces 6.67E-11m ^ 3 / s ^ 2 / kg} {6356000m}} = 11193m / s [/ matemáticas]
Si te alejas del ecuador, porque eres un poco más alto, la velocidad de escape es un poco más baja:
[matemáticas] v_ {esc} = \ sqrt {\ frac {2 \ veces 5.97E24kg \ veces 6.67E-11m ^ 3 / s ^ 2 / kg} {6378000m}} = 11174m / s [/ matemáticas]
Pero la verdadera razón por la que se lanzan cohetes desde lo más cerca del ecuador posible es porque la rotación de la Tierra ya nos dio un impulso inicial:
[matemáticas] v_ {rot} = 2 \ pi 6378000m / 24h = 463m / s [/ matemáticas]
Entonces, en relación con esto, la velocidad necesaria en relación con el suelo es ligeramente menor para lograr la velocidad de escape: 10711 m / s
