Dos partículas que tienen masas m1 y m2 comienzan a moverse entre sí desde el estado de reposo desde la separación infinita. ¿Cuál será su velocidad relativa de aproximación cuando interactúen gravitacionalmente en una separación ‘r’?

Tarea o no, déjame ofrecerte el camino hacia la solución, no la solución en sí. Lo que necesitas saber es DOS cosas. Primero, cuando las masas están en reposo en el infinito, no tienen energía cinética ni potencial, ni tampoco impulso. A medida que se acercan, su energía potencial (gravitacional) se vuelve negativa, pero esto se equilibrará aumentando la energía cinética (positiva). En segundo lugar, el impulso total de las dos masas seguirá siendo cero. Entonces, si tiene a mano las fórmulas para la energía potencial gravitacional, la energía cinética y el impulso, puede escribir rápidamente DOS ecuaciones en DOS incógnitas (las dos velocidades), resolverlas (son muy fáciles) y calcular la suma. Solo tenga cuidado con los signos, especialmente cuando piensa en el impulso (las dos masas se mueven en direcciones opuestas, por lo tanto, el impulso de una debe sustraerse de la otra).

La respuesta de Viktor es, por supuesto, correcta, y si tienes tiempo (estudiando en casa, por ejemplo), definitivamente es la forma en que debes hacerlo. Resolver el problema por completo de esa manera le brinda una comprensión más profunda de lo que está sucediendo, y es una buena práctica.

Dicho esto, si se trata de un examen cronometrado, y todo lo que necesita es la respuesta correcta, hay formas más fáciles (y más rápidas) de encontrarlo, aprovechando el hecho de que es una opción múltiple.

  1. Tenga en cuenta que todas las opciones están en la misma forma, no completamente diferentes; No hay forma de que dos opciones den la misma respuesta, a menos que esa respuesta sea cero.
  2. Esto significa que si puede calcular el valor correcto para cualquier caso especial , puede identificar cuál de las opciones es la correcta.
  3. Para este problema en particular, hay un caso especial muy simple, en el que una de las masas es mucho más grande que la otra (una piedra y el Sol, por ejemplo). La enorme masa no se moverá notablemente, por lo que tiene una energía cinética en lugar de dos , y todo se convierte en un problema directo de conservación de energía, con una ecuación y una desconocida (en lugar de dos de cada una, como usted tener en la versión “completa”).

    Alternativamente, puede hacer el caso especial donde ambas masas son iguales, lo que nuevamente hace que la energía cinética total sea una función fácil de su velocidad relativa, ya que sus velocidades individuales serán iguales. Esto es un poco menos directo (hay que tener mucho cuidado para realizar un seguimiento de varios factores de 2 y 1/2), pero evita la necesidad de hacer aproximaciones como [matemáticas] m_1 + m_2 \ aprox m_1 [/ matemáticas] (si elegiste [math] m_1 [/ math] para ser el pesado), como lo harías si estuvieras usando el primer caso especial.

  4. De cualquier manera, una vez que haya calculado la fórmula para su caso especial elegido, ¡ya está! No es necesario resolver el caso general.

Como dije, hay valor en hacerlo correctamente (a la manera de Viktor), pero si estás en un momento crítico no hay vergüenza en tomar atajos. ¡Todo vale en el amor, la guerra y los exámenes de opción múltiple!

La respuesta 2 es correcta.
La ley de conservación del impulso te da
[matemáticas] \ frac {v2} {v1} = \ frac {-m1} {m2} [/ matemáticas]
Sustituya esto en v1- v2 dando v1 (m1 + m2) / m2.

También podemos aplicar la conservación del momento nuevamente a la relación de energía cinética
[matemáticas] \ frac {k1} {k2} = \ frac {m2} {m1} [/ matemáticas].
Eso es bueno, y elimina una energía:
k1 + k2 = k1 (m1 + m2) / m2
Genial, ahora lo configuramos en Gm1m2 / r
Pero el molesto k1 todavía necesita ser eliminado, así que amplíelo dando
v1 ^ 2 = 2Gm2 ^ 2 / (m1 + m2) r
La manera fácil de terminar es cuadrando la velocidad relativa
Vrel ^ 2 = v1 ^ 2 * ((m1 + m2) / m2) ^ 2 y simplemente conecte v1 ^ 2 desde arriba.

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