¿Pueden dos espacios tridimensionales tener dos puntos en común y, si pudieran, qué más tendrían en común?

Solo puedo responder en términos de utilidad de los espacios para crear mundos virtuales, como los videojuegos, así que sí, aquí hay un caso de uso. (Generación de personajes y regeneración de personajes). en el espacio 3d, tener los dos puntos en común no es suficiente para alinearlos, necesitaría tres. Por ejemplo, tiene el espacio activo, y luego un espacio adicional que contiene solo un personaje, no afectado por el daño. (por lo tanto, todos los puntos son comunes en el marco de referencia de caracteres, y luego colóquelo de modo que 3 puntos sean comunes en el sistema de coordenadas del mundo, para cada cuerpo de rigin en el sistema. O, use un solo punto y un cuaternión ( vector de orientación). El segundo espacio, los caracteres de reemplazo, puede tomar todos los ángulos comunes del espacio principal del mundo, y luego, el caso sería para el desove o regeneración, o para algunos juegos, para animaciones de muerte. personaje y reemplazar ingenio con un trapo “muerto”, en las mismas coordenadas). Para la regeneración, se analiza el carácter roto, si uno de los brazos está roto y la mitad de una pierna, reemplace el personaje roto por uno nuevo del otro espacio (oculte la parte momentáneamente), luego reduzca las piernas rotas a cero (luego activar la visibilidad (y luego permitir que vuelvan a crecer.

Estos son espacios en un mundo virtual, ¿o querías decir un mundo físico real con simetrías? En este caso, no sé, tengo que investigar bajo supersimetrías

Depende de qué tipo de subespacios esté preguntando. Asumiré que está preguntando sobre espacios vectoriales que son subespacios de espacios vectoriales más grandes. Si quiere decir algo más, agréguelo como una especificación en los detalles.

Suponga que dos subespacios [matemática] U [/ matemática] y [matemática] V [/ matemática] de un espacio vectorial [matemática] W, [/ matemática] y que [matemática] U [/ matemática] y [matemática] V [ / math] tienen al menos dos vectores en común. Uno de ellos es [math] \ mathbf 0 [/ math]. La línea completa que pasa a través de [math] \ mathbf 0 [/ math] y el otro vector siempre estará en la intersección.

Supongamos ahora que las dimensiones de [matemática] U [/ matemática] y [matemática] V [/ matemática] son ​​ambas [matemática] 3 [/ matemática] mientras que la dimensión de [matemática] W [/ matemática] es [matemática] n [/matemáticas]. Por supuesto, [matemáticas] n [/ matemáticas] tiene que ser mayor o igual que [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

  • Si [matemática] n = 3 [/ matemática], entonces [matemática] U = V [/ matemática]. La intersección tiene dimensión [matemática] 3 [/ matemática].
  • Si [math] n = 4 [/ math], entonces la dimensión de [math] U \ cap V [/ math] es al menos [math] 2 [/ math].
  • Si [math] n \ geq5 [/ math], entonces por los comentarios en el párrafo anterior, la dimensión de [math] U \ cap V [/ math] es al menos [math] 1 [/ math].

Gracias por A2A: Necesitamos ir despacio aquí para rastrear todos los matices.

La ecuación para un plano 3D en N dimensiones es [matemática] \ {\ vec {x} \}: A \ vec {x} = \ vec {b}, A \ en R ^ {[N-3] xN} , \ vec {b} \ en R ^ {[N-3] x1}, \\ \ vec {x} \ en R ^ {[N-3] x1}, \ forall A: rango (A) = N- 3, \ vec {b} \ en span (A). [/ Math]

Esto puede verse como cierto porque cada ecuación crea un plano dimensional N-1, y por estructura de rango reducimos el rango en uno para cada una de las ecuaciones adicionales, resultando una estructura 3D.

La solución a la intersección de dos espacios 3D en [matemática] R ^ N, N> 3 [/ matemática] se puede expresar como:

[matemáticas] \ {\ vec {x} \}: (A \ vec {x} = \ vec {b}) \ cup (B \ vec {x} = \ vec {c}); B, A \ en R ^ {[N-3] x1}, \ vec {b}, \ vec {c} \ en R ^ {[N-3] x1}, \ vec {x} \ en R ^ { Nx1} [/ math] [math] \ forall A, B: rank (A) = rank (B) = N-3, \ vec {b} \ in span (A), \ vec {c} \ in span ( B). [/ Matemáticas]

Podemos reescribir lo anterior como:

[matemática] D \ vec {x} = \ vec {d}, D = \ left [\ begin {array} {c} A \\ B \ end {array} \ right], [/ math] [math] \ vec {d} = [/ math] [math] \ left [\ begin {array} {c} b \\ c \ end {array} \ right] [/ math]

Así que ahora hay varios casos.

1) supongamos que span (A) = span (B) así que rango (D) = N-3. Entonces no hay solución o un plano 3D que son los dos originales, que terminan siendo iguales.

2) suponga que [matemática] A \ en nulo (B) \ B \ en nulo (A) [/ matemática] no hay solución

3) Si A está parcialmente contenido en A, entonces puede surgir un plano 1D o 2D.

nota: después de leer la respuesta de David Joyce parece que interpreté la pregunta erróneamente. Estoy mirando subespacios afines, es decir, planos … Pero si tienes curiosidad, las respuestas son válidas.

Hay un conjunto muy amplio de posibilidades que se ajustan a esta descripción. Como ejemplo, puede tener dos subespacios 3D en un espacio vectorial 4D sobre los números reales, y los dos subespacios deben tener al menos una intersección 2D (esto solo es necesario cuando hablamos de subespacios de espacios vectoriales, pero isn No es necesario para cualquier hiperplano 3D arbitrario en un espacio afín; este último puede ser paralelo y no intersectar), que ciertamente contiene dos puntos. También puede tener dos subespacios 3D en un espacio vectorial 5D, y su intersección puede ser de 1 a 3 dimensiones.

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