Lo primero que necesitamos saber si queremos derivar la ley del gas ideal son 2 leyes. El primero se llama ley de Boyle, que dice que [matemáticas] (pV) _T = constante [/ matemáticas] esta constante se llama constante de Boyle. La segunda ley es la ley de Gay-lussac que dice que [matemáticas] \ frac {V} {T} _p = constante [/ matemáticas] Esta es una constante de Gay-Lussac. Para aclarar esas T y p significan a temperatura o presión constantes.
Lo siguiente que debemos determinar es qué influye en el volumen. Obviamente temperatura y presión, entonces V = (T, p), V = función de T y p.
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[matemática] dV = (\ frac {\ parcial V} {\ parcial T}) _ p * dT + (\ frac {\ parcial V} {\ parcial p}) _ T * dp [/ matemática]
Si dividimos esta ecuación con V obtenemos
[matemáticas] \ frac {dV} {V} = (\ frac {\ partial} {\ partial T} \ frac {V} {V}) _ p * dT + (\ frac {\ partial} {\ partial p} \ frac {V} {V}) _ T * dp [/ math]
No está escrito al 100% correctamente, pero soy un asco con las matemáticas en línea, así que lo escribí de cerca, básicamente dV / V = dlnV, así que lo que sacamos es la ecuación 1.
1. [math] dlnV = (\ frac {\ partial lnV} {\ partial T}) _ p * dT + (\ frac {\ partial lnV} {\ partial p}) _ T * dp [/ math]
Ahora echamos un vistazo a cada una de las fracciones y recordamos la ley de Boyle y Gay-Lussac. Si consideramos que p es constante primero, entonces la ley establece
(V / T) = constante, entonces V = constante * T y si usamos el logaritmo lnV = lnconstant_G_L + lnT
si lo conectamos a la ecuación obtenemos la ecuación 2.
2. [matemáticas] [/ matemáticas]
Ahora nos fijamos en el segundo caso donde la temperatura es constante. Respetamos la ley de Boyle que dice que [matemática] (p * V) _T = constante_B [/ matemática] Si sacamos V entonces obtenemos la ecuación [matemática] V = constante_B * \ frac {1} {p} [/ matemáticas] y si usamos logaritmos obtenemos lnV = lnconstant + ln (1 / p) = lnconstant -lnp
Ahora lo conectamos para la segunda derivada en la ecuación 1. Luego obtenemos la ecuación 3.
3. [matemáticas] (\ frac {\ partial lnV} {\ partial T}) _ T = (\ frac {\ partial (lnconstant_B-lnp)} {\ partial p}) _ T = – \ frac {1} {p} [/matemáticas]
Si usamos la ecuación 3 y 2 y los conectamos a 1, obtenemos:
dlnV = \ frac {1} {T} * dT – \ frac {1} {p} * dp
dlnV = dlnT-dlnp
dlnV + dlnp-dlnT = 0
[matemáticas] dln (\ frac {pV} {T}) = 0 [/ matemáticas]
Esto significa que p * V / T = constante. Luego tenemos la ley de Avogadro que dice que
donde [math] V_M [/ math] es el volumen molar lo conectamos a esta ecuación:
[matemáticas] \ frac {pV} {T} = \ frac {p_0V_0} {T_0} = \ frac {np_0 \ frac {V_0} {n}} {T_0} [/ math]
Donde [matemáticas] \ frac {p_0 \ frac {V_0} {n}} {T_0} = R [/ matemáticas] entonces lo que obtenemos es:
[matemáticas] \ frac {pV} {T} = nR [/ matemáticas]
Al reorganizarlo, obtenemos la ecuación de gas ideal pV = nRT
Espero no haber cometido muchos errores en el camino ya que esta es la primera vez que uso matemáticas en quora.
