¿Qué tan cerca estaría la velocidad del electrón a la velocidad de la luz si se usara un millón de dólares en energía para acelerarla?

De acuerdo con los precios promedio de electricidad en todo el mundo: $ / kWh, EE. UU. Tiene un precio de 12 centavos de dólar por kWh. Eso significa que puede comprar [matemáticas] 1000000 / .12 [/ matemáticas] ~ 8.3 millones de kWh de energía.

Eso es aproximadamente [matemáticas] 3 \ por 10 ^ {10} [/ matemáticas] kJ. Si suponemos que toda esta energía se pondrá en la energía cinética del electrón (en realidad no lo hace), obtenemos que:

[matemáticas] E_k = mc ^ 2 (\ gamma – 1) [/ matemáticas], con [matemáticas] \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1 – \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} }[/matemáticas]

Que se puede resolver para:

[matemáticas] \ frac {v} {c} = \ frac {\ sqrt {E_k ^ 2 – (mc ^ 2) ^ 2)}} {E_k} [/ math]

La expresión anterior es más o menos inútil. Conectar los números que obtiene produce el número 1 simplemente porque la mayoría de las calculadoras no tienen la precisión necesaria para obtener una respuesta diferente. Puede usar un programa de computadora que se puede asignar para calcular más decimales, o usar una simple expansión de Taylor:

[matemáticas] \ sqrt {1 – \ epsilon} \ aprox 1 – \ frac {1} {2} \ epsilon [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ sqrt {E_k ^ 2 – (mc ^ 2) ^ 2}} {E_k} = \ sqrt {1 – \ frac {m ^ 2 c ^ 4} {E_k ^ 2}} \ aprox 1 – \ frac {1} {2} \ frac {m ^ 2 c ^ 4} {E_k ^ 2} [/ math]

Enchufar los números

[matemáticas] c = 300,000,000 [/ matemáticas] m / s

[matemáticas] m = 1 \ por 10 ^ {- 30} [/ matemáticas] kg

[matemáticas] E_k = 3 \ veces 10 ^ {10} [/ matemáticas] kJ

Te da [matemáticas] \ frac {v} {c} \ aprox 1 – 10 ^ {- 54} [/ matemáticas]

En otras palabras, produce un número que está tan cerca de 1, que tendría que anotar al menos 54 de sus decimales antes de notar alguna diferencia.

Tenga en cuenta que:

  • Los cálculos anteriores suponían que el precio de 1 kWh en los EE. UU. Era de aproximadamente 12 centavos de dólar (fuente vinculada). Obviamente, esto es solo una suposición descabellada: los precios de la energía en diferentes países, también son números promedios para (creo) personas, no empresas. De todos modos, casi no importa, dudo que haya algún tipo de red que pueda manejar un drenaje de 10 kJ de energía en un par de segundos. Verifique las órdenes de magnitud (energía) para ver algunas cosas interesantes que se encuentran en ese rango de energía.
  • Asumí que toda la energía se transferiría a la energía cinética, eso por supuesto no es cierto. Los electrones, como cualquier partícula cargada, pierden gran parte de su energía a través de la radiación que envían cuando se aceleran. Cuánto depende esto depende en gran medida de cómo aceleras la partícula. Por supuesto, la radiación drena más y más energía cuanto más rápido avanza la partícula (¡efectos relativistas!), Por lo que necesitaría una partícula acelerada mucho más grande que la que tenemos.
  • Estos números no son muy útiles. Así que es un número muy cercano al 1, podría haberte dicho eso desde el principio. No importa si son mil dólares, un millón o mil millones: terminas con escenarios poco prácticos (es decir, el tamaño físico del acelerador, la red de energía que lo rodea, la fuente de energía, etc.). El número tampoco tiene ningún significado real. Un número tan cercano al 1 que necesita anotar 50, 60 o 70 decimales para detectar una diferencia, ¿a quién le importa?
  • Como último punto sarcástico: en los cálculos anteriores no hice absolutamente nada que usted mismo no podría haber hecho si: tiene acceso a Internet y puede hacer artihmatic. Entonces, ¿por qué no lo hiciste tú mismo?