Gracias por el A2A.
P: ¿Cuáles son las ecuaciones más bellas y elegantes de la teoría de cuerdas?
Hermoso y elegante son en gran parte subjetivos. Sin embargo, puedo escribir un par de ecuaciones básicas que tiene la teoría de cuerdas. Intentaré contrastar esto con ecuaciones similares que se usan en el Modelo Estándar de física de partículas, que es una teoría probada y comprobada (y también es la teoría más precisa y probada de todos los tiempos).
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Modelo estandar
El punto de partida del modelo estándar es asumir que el mundo natural está construido de partículas puntuales. Esto se describe mediante una acción (en la física moderna, es conveniente describir las cosas en términos de acciones o lagrangianos),
[matemáticas] S _ {\ text {partícula}} = – mc ^ 2 \ int d \ tau \ sqrt {- g _ {\ mu \ nu} {\ dot X} ^ \ mu {\ dot X} ^ \ nu} [ /matemáticas]
Esta es la acción correspondiente a una sola partícula escalar de masa [matemática] m [/ matemática], por lo que se podría decir que la existencia de dicho término en el lagrangiano del modelo estándar predice una partícula de masa [matemática] m [/ matemáticas]. Llegamos a esta conclusión cuando la teoría se cuantifica utilizando todas las reglas establecidas por la mecánica cuántica, que también es una teoría probada.
Un descargo de responsabilidad aquí es que la acción anterior no es la acción única correspondiente a las partículas puntuales. Hay muchas otras acciones que se pueden escribir que son consistentes con esta suposición, cada una con diferentes predicciones. Cuál de estos aparece en la acción que describe nuestro mundo natural (es decir, en la acción del Modelo Estándar) está determinado por una mezcla de consistencia teórica y datos experimentales.
Teoria de las cuerdas
El punto de partida de la teoría de cuerdas es suponer que el mundo natural está construido con pequeñas cuerdas vibratorias. Esto es descrito por la acción
[matemáticas] S _ {\ text {string}} = – \ frac {1} {\ ell_s ^ 2} \ int d ^ 2 x \ sqrt {\ det (g _ {\ mu \ nu} \ partial_a X ^ \ mu \ parcial_b X ^ \ nu)} ~~~~~~~~~~~~~~~~~ (1) [/ matemáticas]
donde [math] \ ell_s [/ math] es la longitud de la cadena. Esta es la acción correspondiente a una sola cuerda vibrante. Sabemos que esta es la acción correcta, ya que se ha demostrado que describe correctamente la física clásica de las cuerdas vibrantes grandes reales como cuerdas, cuerdas de guitarra, etc., es decir, reproduce correctamente la frecuencia de sonido que producirá una cuerda de guitarra cuando se toque de cierta manera, etc.)
En la teoría de cuerdas, todo lo que hacemos es tomar esta acción y cuantificarla siguiendo todas las reglas de la mecánica cuántica, exactamente como lo hicimos para las partículas anteriormente. El resultado de este proceso de cuantificación es la predicción de que hay partículas con las siguientes masas.
[matemática] m ^ 2 = \ frac {1} {\ ell_s ^ 2} \ left (N – 1 \ right) ~, \ qquad N = 0,1,2,3,4, \ cdots [/ math]
Otro resultado de la cuantización es la afirmación de que la dimensión del espacio + tiempo debe ser 26, es decir, debemos tener (si la propuesta de que el mundo natural está formado por cadenas es correcta) 25 dimensiones espaciales y 1 dimensión temporal.
Al igual que en el caso del modelo estándar, un descargo de responsabilidad aquí es que la acción (1) no es la acción única que describe las cadenas. Hay muchas otras acciones que se pueden escribir que son consistentes con la suposición de un mundo basado en cadenas, cada una con diferentes predicciones . Cuál de estos aparece en la acción que describe nuestro mundo natural se determinará mediante una mezcla de autoconsistencia teórica y datos experimentales.
Ahora, como se sabe, actualmente no hay datos experimentales que nos ayuden a descubrir qué acción es la correcta. Todo lo que podemos confiar por ahora es la autoconsistencia teórica y esa es toda la investigación que se está llevando a cabo en la teoría de cuerdas en este momento, para determinar qué acciones se pueden escribir simplemente en función de la autoconsistencia teórica de la teoría. De hecho, esto ya elimina la acción que escribí anteriormente, ya que predice una partícula de masa negativa (con [matemática] N = 0 [/ matemática]) lo que implica una inestabilidad de la teoría (esto se concluye nuevamente de la mecánica cuántica misma ) Luego podemos pasar a una teoría de cuerdas diferente, llamada teoría de supercuerdas. Esto es descrito por la acción
[matemáticas] S _ {\ text {superstring}} = \ frac {1} {4 \ pi} \ int d ^ 2 z \ left [\ frac {2} {\ ell_s ^ 2} \ parcial X ^ \ mu {\ bar \ partial} X_ \ mu + \ psi ^ \ mu {\ bar \ partial} \ psi_ \ mu + {\ tilde \ psi} ^ \ mu \ partial {\ tilde \ psi} _ \ mu \ right] [/ math ]
La cuantización de este modelo predice [matemáticas] D = 9 + 1 [/ matemáticas]. Ya no predice partículas de masa negativa y ahora también predice partículas fermiónicas (que faltaban en el modelo de cadena anterior, lo que nos da otra razón para rechazar ese modelo).
Esas son todas las ecuaciones que les presentaré ahora. Hay millones (¡sí, millones!) Más ecuaciones que se utilizan en la teoría de cuerdas para diferentes propósitos, la mayoría de los cuales no significarán nada para un lego. Sin embargo, si lo desea, puede tener una breve visión de tales ecuaciones en cualquier libro de texto de teoría de cuerdas, digamos Polchinski Volumen I y II o Kiritsis. Sin embargo, estos libros son solo introducciones al tema y de ninguna manera contienen todos ellos. Puede leer cualquiera de los muchos artículos de teoría de cuerdas que se publican diariamente en arXiv.
Supongo que si buscas fórmulas hermosas y elegantes del tipo [matemáticas] E = mc ^ 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] H \ Psi = E \ Psi [/ matemáticas], la cadena no tiene ninguna (en mi opinión) . Esto podría ser una indicación del hecho de que todavía no entendemos la teoría de cuerdas en su totalidad, o tal vez simplemente no existe tal ecuación. Sin embargo, ese no es el propósito de la teoría de cuerdas. El propósito es hacer predicciones. Sin embargo, es desafortunado que la mayoría de las predicciones hechas hasta ahora no sean comprobables por la tecnología actual moderna (porque nuestras máquinas no pueden generar las energías requeridas para la prueba). Creo que los teóricos de cuerdas deberían trabajar más duro para hacer una predicción que pueda ser probada. Este es un aspecto importante de la ciencia que la teoría de cuerdas falta actualmente, pero sabemos que están trabajando duro para obtener y hacer tal predicción.
