Definiciones
Así como el par es el análogo de la fuerza para el movimiento de rotación de los objetos rígidos, el momento angular es el análogo del momento lineal. Para un objeto rígido con momento de inercia I que gira alrededor de un eje con velocidad angular ω , el momento angular se define como L = Iω . Un caso especial es el de una partícula puntual de masa m que gira en un círculo de radio r a velocidad v . El momento de inercia de tal partícula es mr
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, y la velocidad angular es ω = v / r , por lo tanto, L = mr
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( v / r ) = rmv . Tenga en cuenta la similitud de esta expresión con la del momento lineal de una partícula, a saber, p = mv . Uno se multiplica por r para obtener el momento angular. Sin embargo, enfatizamos que este último resultado se aplica al caso especial de una partícula en movimiento circular uniforme.
Las partículas en línea recta también pueden tener un momento angular si la partícula se mueve fuera del eje. Ver Figura 1 a continuación. Una partícula de masa m se mueve a la velocidad v a lo largo de la línea recta x. Se muestran tres posiciones sucesivas de la partícula. En relación con un eje en el punto O, los vectores de posición sucesivos de la partícula son rA , rB y rC . El momento angular de la partícula es el producto del momento lineal, p , y el componente r sin θ del vector de posición. Tenga en cuenta que el ángulo entre los vectores de posición y velocidad se define de la misma manera que para el par. Extienda el vector de posición como se muestra por las líneas punteadas en la Figura 1. El ángulo entre la extensión de r y el momento es el ángulo θ. Por lo tanto, para las tres posiciones mostradas, los momentos angulares son LA = prA sin θA , LB = prB sin θB y LC = prC sin θC . Tenga en cuenta que los tres productos de r sen θ son iguales a la misma cosa, a saber, la distancia perpendicular desde el punto O a la línea L. Por lo tanto, podemos escribir para una partícula puntual con momento lineal p que el momento angular es igual al producto de p y la distancia perpendicular desde el eje de rotación a la línea de p :.
Figura 1
Figura 2
En el ejemplo de la Figura 1, la partícula se mueve tangente al círculo centrado en el eje en O. Sin embargo, esto no es necesario. Suponga que la partícula se mueve en algún otro ángulo como el que se muestra en la Figura 2. La misma fórmula, se usa para calcular el momento angular. Consulte la Figura 2 para ver cómo se encuentra la distancia r sen θ .
Definiciones de mo angular
mentum
- Para un objeto rígido con momento de inercia I girando sobre un eje con velocidad angular ω : L = Iω .
- Para una partícula que tiene un momento lineal p cuya trayectoria es una distancia perpendicular al eje de rotación:.
Leyes de conservación
En el ejemplo descrito en la Figura 1 anterior, la partícula tenía un momento lineal constante. La fuerza externa neta que actúa sobre la partícula fue 0; por lo tanto, se mantuvo el impulso lineal. Tenga en cuenta que el momento angular también se conservó, ya que
no cambio. Para el momento angular, la condición para la conservación es que el torque externo neto en el sistema es 0. Enunciamos ambas leyes de conservación a continuación en sus formas generales.
Momento lineal
Fnet, ext Δ t = Δ pnet
τnet, ext Δ t = Δ Lnet
figura 3
Recuerde que Δ pnet representa el cambio total del momento lineal de todos los objetos en el sistema. Del mismo modo, Δ Lnet representa el cambio total del momento angular de todos los objetos en el sistema.
Si el sistema se elige de modo que Fnet, ext = 0, podemos escribir: P i = P f , donde P representa el momento total de los objetos en el sistema en un momento particular. Del mismo modo, si el sistema se elige de manera que τnet, ext = 0, entonces podemos escribir L i = L f , donde L se toma para representar el momento angular total de los objetos en el sistema en un momento particular.
Veamos cómo se aplican las leyes de conservación a una situación muy simple de un disco que se mueve en un círculo horizontal a velocidad constante al final de una cadena de masa insignificante. Suponga que la cuerda está unida a una publicación en una mesa de aire, y el disco se pone en movimiento circular. Ver Figura 3 a la derecha. Tomando el sistema como el disco, las fuerzas externas en el sistema son la fuerza normal de la mesa, el peso del disco y la tensión de la cuerda. Suponemos que la fricción es insignificante en la mesa de aire. Como las fuerzas normales y de peso se equilibran en la superficie horizontal, nos quedamos con Fnet, ext = T. Por lo tanto, el momento lineal no se conserva en esta situación. También podemos ver que esto es cierto por el hecho de que la dirección de la velocidad del disco, por lo tanto, el impulso, está cambiando continuamente.
Miremos los pares para la misma situación. Nuevamente, tomaremos el disco como el sistema. El eje de rotación será el eje físico, O, en el puesto. Las fuerzas normales y de peso ejercen ambos pares con brazos de momento iguales al radio, r , de la trayectoria; sin embargo, estos pares son opuestos y suman 0. La fuerza de tensión no ejerce torque, porque su línea de acción pasa a través del eje. Por lo tanto, el torque externo neto en el disco es 0 y se conserva el momento angular. También podemos ver esto por el hecho de que la cantidad del disco no cambia. La distancia
siempre es igual a r , y la magnitud del momento lineal, p , es constante.
Es posible que haya notado que tratamos a L en el ejemplo anterior como una magnitud, diciendo que la magnitud de L no cambia, mientras que tratamos el momento lineal como un vector, diciendo que la dirección del vector estaba cambiando; por lo tanto, el impulso lineal no se conservó. Sin embargo, es importante darse cuenta de que el momento angular también es un vector, y la relación dada anteriormente, τnet, ext Δ t = Δ Lnet , es una relación vectorial. Por lo tanto, necesitamos decir algo sobre la naturaleza vectorial del momento angular y por qué no cambia en el ejemplo de la pelota en una cuerda.
La dirección del momento angular es perpendicular tanto al momento lineal como a los vectores de posición.
La dirección del momento angular se determina de la siguiente manera: Traslade uno de los vectores r y p hasta que los dos vectores estén de cola a cola. Luego, riza los dedos de tu mano derecha del vector r al p . Su pulgar apunta perpendicular a ambos vectores en la dirección de L. (Este es un ejemplo de una regla de la mano derecha que se usará nuevamente en un contexto diferente en el tema del magnetismo).
Figura 4
Figura 5
Apliquemos este método a la pelota y a la cuerda. Ver Figura 4. Hemos trasladado el vector r hacia arriba (el vector rojo) para que su cola coincida con la de p . Cuando sostienes tu mano derecha para que tus dedos se curven naturalmente de r a p , tu pulgar apunta hacia ti, fuera de la pantalla. Esa es la dirección de L. Para representar esta dirección en un plano, usamos un círculo con un punto en el medio. Esto indica un vector que señala fuera de la pantalla. Piense en ello como mirando la punta de una flecha que viene hacia usted. Puede ver que L también será perpendicular al plano de r y p ; por lo tanto, la dirección de L no cambia a medida que gira el disco. Por lo tanto, tanto la magnitud como la dirección de L no cambian y L se conserva.
Veamos otro ejemplo de determinación de la dirección del momento angular. Considere la situación de la Figura 2. Lo hemos redibujado en la Figura 5, traduciendo el vector r a la cola de p . Para curvar los dedos de r a p , debe orientar la mano para que el pulgar apunte a la pantalla. Esta dirección se indica en el plano como un círculo con una X en él. Piense en esto como mirar las plumas de una flecha que se aleja de usted.
Como puede ver en el ejemplo anterior de la pelota en una cuerda, el momento angular se puede conservar mientras que el momento lineal no. También es posible lo contrario, el momento lineal se puede conservar mientras que el momento angular no. Harás un ejercicio más tarde en el que este último es el caso.
Ejemplos de conservación del momento angular
El libro de texto proporciona varios ejemplos en la sección 11-7. El ejemplo 11-9 tiene que ver con cambiar su velocidad de rotación en un taburete giratorio simplemente redistribuyendo su masa. V114 se ocupa de esta situación.
