Si tuviera un universo completamente vacío, en el que solo 2 canicas, colocadas perfectamente inmóviles al principio, con una distancia mínima entre ellas, ¿cuánto tiempo les tomaría colisionar debido a la gravedad?

El problema de la gravedad del universo vacío de dos cuerpos es, en el mejor de los casos, ambiguo y posiblemente insoluble. Pasé algo de tiempo hace unos diez años.

Primero, tenga en cuenta que la mayoría de los modelos cosmológicos son modelos de polvo, de modo que la fuente de gravedad se distribuye por todo el espacio.

Segundo, date cuenta de que la masa define el tiempo y el espacio, que define todo acerca de los dos objetos. Entonces, la distancia entre ellos depende de … ¿la distancia entre ellos? Algo así. Necesita una masa adicional para romper este ciclo de cada uno de ellos con una posición y un tiempo definidos solo en términos del otro.

Incluso entonces, solo puedes hablar sobre su posición con respecto a la otra masa. Es por eso que la teoría se llama “relatividad” (una razón, de todos modos). Solo sabemos cuán grande es el universo en relación con los múltiplos de distancias entre objetos en el universo. No hay escala absoluta.

Digámoslo de otra manera. Si la distancia entre sus dos masas es de un metro, el tiempo correrá a una décima parte de la velocidad como si la distancia fuera de 10 metros. Entonces, ¿cómo puedes saber cuál es cuál? No hay una tercera distancia que pueda usar como referencia. Por lo tanto, cada distancia posible para los dos objetos satisface las ecuaciones, así como cualquier otra distancia.

La respuesta de Rick McGeer es correcta, pero supone que G no depende de la masa y el tamaño del universo (y la pregunta original mencionaba “un universo completamente vacío”). Ernst Mach sospechaba lo contrario, y Einstein pensó que tenía un punto, es decir, la inercia podría ser un efecto relativista general de acelerar relativamente a toda la materia en el universo: en otras palabras, un efecto de arrastre de fotogramas en todo el universo.

Nunca se llegó a un consenso sobre la validez de la conjetura de Mach o incluso su significado preciso, pero si G (es decir, la inercia) depende del tamaño y la densidad del universo, en un universo casi vacío, las canicas casi no tendrían inercia (es decir, G sería mucho más grande que su valor actual de aproximadamente [matemática] 6.674 \ veces10 ^ {- 11} m ^ 3 kg ^ {- 1} s ^ {- 2} [/ matemática]) y las dos canicas podrían colisionar en una gran cantidad menor tiempo Sin embargo, realmente no sabemos si tal universo podría existir …

Los astrónomos abordan este problema de manera un poco diferente a los físicos (y cosmólogos). Así que aquí hay una solución alternativa a las ya excelentes (la conservación de la energía, el principio de Mach, el universo en expansión).

Recordemos que la teoría de la gravedad de Newton se originó a partir de las leyes de Kepler. Así que usemos esos para resolver el problema directamente.

Dos masas, en ausencia de fuerzas distintas de su gravedad mutua, orbitarán su centro de masa común, siguiendo caminos elípticos. El tiempo necesario para una órbita completa (P) está relacionado con el eje semi-mayor (a) de la elipse mediante la siguiente ecuación conocida como la 3ª Ley de Kepler *.

[matemáticas] \ frac {P ^ 2} {a ^ 3} = \ frac {4 \ pi ^ 2} {GM} [/ matemáticas]

Una característica interesante de la tercera ley de Kepler es que el grado de excentricidad no es una variable. Esto significa que podemos argumentar que dos masas que se acercan a una colisión frontal siguen una órbita elíptica, donde el eje semi-menor tiene una longitud cero. Chocan después de completar solo media órbita.

[matemáticas] T = \ frac {P} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] T = \ frac {1} {2} \ sqrt {\ frac {4 \ pi ^ 2 a ^ 3} {GM}} [/ matemáticas]

[matemáticas] T = \ frac {\ pi a ^ {(3/2)}} {\ sqrt {GM}} [/ matemáticas]

Lo que para masas en el rango de 1-10 gramos produce [matemática] T \ simeq 10 ^ {23} [/ matemática] años, elevando las masas de las canicas a 1 kg, acorta el tiempo ligeramente a [matemática] T \ simeq 10 ^ {22} [/ matemáticas] años

Por lo tanto, esas canicas no tendrán tiempo de colisionar en la era del universo, que actualmente es [matemáticas] 1.3 \ veces 10 ^ {10} [/ matemáticas] años.

Noto que aunque todos estamos de acuerdo en que el tiempo es más largo que la edad del universo, existe una amplia gama de respuestas numéricas. En principio, las leyes de la física deberían converger, sujetas a los efectos de varias simplificaciones …

* Por cierto, la tercera ley de Kepler no requiere que las masas sean iguales, en cuyo caso las distancias son los ejes semi-principales de las órbitas individuales de las masas alrededor del centro de masa (que no se encuentra equidistante entre ellas, en cambio [ matemáticas] \ frac {a_1} {a_2} = \ frac {m_2} {m_1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {P ^ 2} {(a_1 + a_2) ^ 3} = \ frac {4 \ pi ^ 2} {G (m_1 + m_2)} [/ matemáticas]

Supongo que por “canica” te refieres a la canica de la unidad estándar que se encuentra en el Departamento de Pesas y Medidas Estándar, que es exactamente 50 g. (Lo inventé, pero lo necesitaba porque no especificaste el peso).

La fuerza de atracción es [matemáticas] F = \ frac {GM_1M_2} {r ^ 2} [/ matemáticas].

Usando los números que tenemos:

[matemáticas] F = \ frac {6.7 × 10 ^ {- 11} m ^ 3kg ^ {- 1} s ^ {- 2} × (0.05 kg) ^ 2} {(9.5 × 10 ^ {15} m) ^ 2} = 1.86 × 10 ^ {- 45} N [/ matemáticas].

Usando F = ma, obtenemos una aceleración de [matemáticas] 3.7 × 10 ^ {- 44} ms ^ {- 2} [/ matemáticas]. Usando [matemática] d = (1/2) en ^ 2 [/ matemática], obtenemos [matemática] t = 7.2 × 10 ^ {29} [/ matemática] segundos o aproximadamente [matemática] 2.3 × 10 ^ {22} [/ matemáticas] años.

Se requiere paciencia. Sin notación exponencial, este número de años es incomprensible. Con notación exponencial, este número de años sigue siendo incomprensible.

ACTUALIZACIÓN: Aparentemente, a nadie le importa de dónde provienen las canicas en un universo vacío, pero están preocupados por la fuerza variable. Integre el radio dos veces en lugar de usar [matemáticas] d = (1/2) en ^ 2 [/ matemáticas].

La expansión es exponencial en un universo vacío (a la De Sitter), y como lo demostró Robertson, también es exponencial con algunos elementos de dispersión de masa en grupos, por lo que tomando el tamaño y la densidad de las canicas como promedio, la aceleración de expansión c ^ 2 / R es mucho mayor que la aceleración de la gravitación entre dos canicas de tamaño promedio separadas por una. Nunca se encontrarán.

La aceleración entre sí es una función de sus masas, así como de la distancia. No puede obtener una sola respuesta, indicando “mármol”. Necesita citar masas en unidades conocidas y estándar.

[Editar]

Solo por diversión, realicé algunos cálculos con los 50 gramos por canica sugeridos en un comentario. La aceleración gravitacional inicial sería [matemática] 1.87 \ veces 10 ^ {- 45} m / s ^ 2 [/ matemática]

Una longitud de Planck es [matemática] 1.6 \ veces 10 ^ {- 35} m [/ matemática]. La fórmula distancia = 1/2 aceleración x tiempo se puede reorganizar para encontrar que tomaría un día y medio para que la distancia entre las canicas se acorte en una longitud de Planck. Pero esto sugiere lo que podría ser una nueva variación de la paradoja de Xeno de la tortuga y Aquiles. A su ritmo de aceleración, nunca pueden comenzar a moverse el uno hacia el otro. Sería interesante investigar. ¿Qué podría ser ‘almacenado’ durante un día y medio para permitir un movimiento cuántico después de un tramo de nada?

Dado un universo que consiste completamente en dos esferas de vidrio.

Si estamos utilizando esferas hipotéticas inmutables, diría que no hay un concepto de tiempo. Este universo tendría dos estados; uno donde las esferas estaban en contacto y otro donde no estaban; en realidad no hay ningún otro estado. Como no hay otro objeto con el que hacer comparaciones, el concepto de distancia tampoco existe realmente.

Si estamos hablando de esferas de sílice reales, tenemos que definir qué queremos decir con “Universo”. Como se señaló, si el Universo estuviera realmente vacío, la gravedad no existiría y, por lo tanto, tampoco nuestras esferas de “vidrio”. Entonces, necesariamente estaríamos hablando de un Universo que no estaba completamente vacío. Tendría que incluir la gravedad, así como las fuerzas electromagnéticas fuertes y débiles, y cualquier incógnita que exista para respaldar nuestras observaciones de los efectos de la gravedad y las canicas tal como las conocemos. Como puede ver, abrimos una lata entera de gusanos.

1. No hay suficientes datos. ¿Qué son las masas de las canicas? La ecuación para encontrar la aceleración debida a la gravedad de las dos canicas es F = Gm1m2 / r ^ 2 donde G es la constante gravitacional m1 es la masa del primer mármol, m2 es la masa del segundo mármol y r es la distancia entre Los centros de las canicas.

Las respuestas dadas son muy grandes, pero a nadie parece ocurrirle que los objetos podrían orbitarse entre sí durante mucho tiempo antes de que la órbita decaiga, por lo que las respuestas se expandirían aún más.

Por supuesto, solo se necesitaría un ligero movimiento transversal para comenzar.

Editar: Es bastante sorprendente que tanta gente todavía crea que la gravitación depende solo de la masa, como el modelo newtoniano, cuando, por relatividad, obviamente también depende del movimiento. De hecho, no es irrazonable creer que dos masas inmóviles no comenzarían a moverse juntas de manera espontánea.

Si el universo estuviera completamente vacío, la gravedad no existiría.