¿Cuál es la velocidad de una partícula sujeta a una fuerza gravitacional?

El componente “hacia abajo” aumentará con el tiempo.

Por supuesto, la gravedad no es una fuerza, por lo que la partícula (descuidando la fricción del aire) también acelerará “hacia el ecuador” y “hacia el oeste” en pequeñas cantidades.

d ^ 2 r / dt ^ 2 = dv / dt = dv / dr [dr / dt] = v [dv / dr] = Gm / r ^ 2

v dv = -Gm .dr / r ^ 2, integrar de infinito a r, luego

[1/2] v ^ 2 = Gm / r

v ^ 2 = 2 Gm / r

v = dr / dt = [2Gm / r] ^ 0.5, deje que [2Gm] ^ 0.5 = k, entonces

dr / dt = k / r ^ 0.5

k dt = r ^ 0.5 .dr, se integra entre los límites r [0] y r

kt = [2/3] [r (0) -r] ^ [3/2]

r [0] -r = ([3/2] [kt]) ^ [2/3]

r = r [0] – [2Gm] ^ [1/3]. ([3/2] .t]) ^ [2/3]

EDITAR

La componente radial de la fuerza es m [d ^ 2 R / dt ^ 2] = m [d ^ 2 r / dt ^ 2 – r. dz / dt] = f [r]

más adelante f [r] se convierte en k / r ^ 2, que es a donde vamos.

La fuerza transversal es m [2 dr / dt. dz / dt + rd ^ 2 z / dt ^ 2] = 0, es decir

d / dt [r ^ 2 .dz / dt] = 0 así

r ^ 2. dz / dt = constante = h Eq 1

También h = J / m donde J es el momento angular y es una constante si se mueve bajo una fuerza central.

Ahora hagamos un poco de mano

Sea r = 1 / u, entonces y de la ecuación 1, [1 / u ^ 2] [dz / dt] = ho

dz / dt = hu ^ 2, ecuación 2

entonces r = 1 / u, EQ 1

dr / dt = – [1 / u ^ 2] du / dt, usando la regla de la cadena esto se convierte

dr / dt = – [1 / u ^ 2] [dz / dt] [du / dz] = – h. du / dz de la ecuación 1,

Diferenciar por segunda vez

d ^ 2r / dt ^ 2 = -h. d / dt [du / dz] = – h [dz / dt] [d / dz de du / dz] = – h [dz / dt] [d ^ 2 u / dz ^ 2] Eq 3, regla de la cadena

de Eq2 arriba dz / dt = hu ^ 2, sub esto en Eq3 y

d ^ 2 r / dt ^ 2 = -h ^ 2 u ^ 2 [d ^ 2 u / dz ^ 2], ecuación 4

Regrese a la componente radial m [r ”-r [z ‘] ^ 2] = k / r ^ 2 y sustituya en la ecuación 1 por r,

-h du / dz para r ‘y Eq 4 para r ”

entonces m [h ^ 2.u ^ 2 .d ^ 2 u / dz ^ 2 + [1 / u] [h ^ 2 u ^ 4] = f [r] = k / r ^ 2 = ku ^ 2 para un órbita en un campo cuadrado inverso

dividir entre mh ^ 2 u ^ 2 y esto obtiene un resultado como

d ^ 2 u / dz ^ 2 + u = k / mh ^ 2, ecuación 5

Para recapitular, hemos reducido algo de la forma md ^ 2 r / dt ^ 2 = k / r ^ 2 a algo de la forma de un problema armónico simple con el bit k / mh ^ 2 agregado en

La solución para la ecuación 5 es

u = A cos [zw] + k / mh ^ 2, omita la w y luego

u = A cos z + k / mh ^ 2 = [Amh ^ 2 cos z + k] / mh ^ 2 = 1 / r

r = mh ^ 2 / [Amh ^ 2 cos z + k] Eq 6,

Sea L = mh ^ 2 / k y e = Amh ^ 2 / k, entonces la ecuación 6 se convierte en

r = L / [1 + e cos z]

e es la excentricidad de la órbita.

cuando e <1, elipse

e = 0, círculo

e = 1, parábola

e> 1, hipérbola.

Después de todo eso no obtuve r = f [t], así que tal vez en un campo cuadrado inverso donde F = f [k / r ^ n], el objeto está restringido a una órbita particular.

OH **, <] &&, me olvidé de la ley Keplers; áreas iguales en tiempos iguales, sin embargo eso nuevamente daría la situación donde e <1 arriba.

Espero que esto sea de alguna utilidad. Sé que el guión es un poco desordenado, si lo escribes en tu propia escritura y recuerdas las inclusiones de la regla de la cadena y las sustituciones, no está tan mal.