Hay una diferencia fundamental entre las dos ecuaciones.
[matemática] E = h \ nu [/ matemática] es una relación entre dos cantidades medibles independientemente. La energía de un fotón se puede medir, al menos en principio, disparándolo a un calorímetro. La frecuencia de un fotón puede medirse mediante un instrumento apropiado (o derivarse de su longitud de onda, que puede medirse ópticamente).
En contraste, [matemáticas] x_4 = ict [/ matemáticas] es una definición . Define una longitud imaginaria ficticia utilizando el tiempo de coordenadas. Esta longitud ficticia no se puede medir. No hay barras medidoras de longitud imaginaria, y especialmente no hay barras métricas que se estiren en la cuarta dimensión temporal. La única razón para esta definición es la estética matemática: le permite reemplazar la métrica pseudoeuclidiana “fea” [matemática] ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2-c ^ 2dt ^ 2 [/ matemática] con la métrica “bonita” de aspecto euclidiano [matemática] ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 + dx_4 ^ 2 [/ matemática].
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Pero tales travesuras estéticas no solo son costosas en el sentido de que introducen innecesariamente números imaginarios en la imagen, de todos modos dejan de tener sentido cuando cambiamos a la relatividad general, donde terminamos con [matemáticas] ds ^ 2 = \ sum _ {\ mu = 0} ^ 3 \ sum _ {\ nu = 0} ^ 3 g _ {\ mu \ nu} dx ^ \ mu dx ^ \ nu [/ math] (aquí, el superíndice no es exponenciación sino índices contravariantes; también, [math] x_0 = ct [/ math], nuevamente por definición) y la “firma” de la métrica (específicamente, el hecho de que [math] g_ {ii}> 0, i = 1..3 [/ math] y [math] g_ {00} <0 [/ math]) nos dice mucho sobre las propiedades topológicas fundamentales del espacio-tiempo mismo.
