¿Cómo se cuantifican los campos cuánticos para describir partículas?

Primero tenemos que pensar en lo que queremos decir con una “partícula”. Un electrón, por ejemplo, no está localizado en un punto, sino que se extiende y tiene una probabilidad de ser observado en un lugar en particular. Las propiedades similares a partículas más importantes que tienen los electrones son (suponiendo un volumen de espacio que contiene solo electrones y, de lo contrario, está vacío):
1) Si medimos la carga en un punto siempre obtenemos 0 o -1, y
2) Si la carga total de un sistema es -1, entonces no podemos medir la carga distinta de cero en más de un lugar a la vez.
Aunque los electrones se describen mediante una ecuación de onda (la ecuación de Dirac), las propiedades anteriores son obviamente diferentes de las ondas clásicas como las ondas electromagnéticas.
Ahora matemáticamente, ¿de dónde vienen estas propiedades? Para el caso de un solo electrón, la ecuación de Dirac más los postulados de medición de Von Neumann son suficientes.

Si queremos describir más de una partícula, la forma más fácil es usar el espacio Fock, que es solo una notación simple que extiende la idea de la función de onda a más de una partícula. La función de onda de Schrödinger de múltiples partículas era una forma temprana y simple de manejar más de una partícula, pero el número de partículas tenía que ser constante. Dio una amplitud de probabilidad para que n partículas estén en n ubicaciones prescritas. El espacio de la base es solo una ligera extensión de esto, lo que permite que varíe la cantidad de partículas. Sin embargo, el espacio Fock en sí mismo solo describe situaciones estáticas. También necesitamos una forma de describir la dinámica, por lo que nos gustaría tener un hamiltoniano que describa la evolución temporal de un estado en el espacio Fock. Una herramienta para derivar el hamiltoniano es con una descripción de campo que sea diferente del espacio de Fock, pero que tenga cierta semejanza con la función de onda de una sola partícula.

En el espacio Fock, un sistema de n partículas necesitará 3 * n grados de libertad para describirlo, pero dado que el número de partículas es ilimitado, existe potencialmente un número ilimitado de grados de libertad. Para usar una descripción de campo, podemos imaginar que hay un “campo” que tiene algún valor en todo el espacio. Este campo puede tener cualquier valor en cualquier punto, por lo que también hay un número infinito de grados de libertad, pero diferentes de los del espacio Fock. El espacio de Fock es un tipo de espacio de Hilbert, donde cada estado es un vector de columna, y cada entrada proporciona la amplitud de probabilidad para un número particular de partículas en ciertos lugares. También podemos definir un espacio de Hilbert para el campo cuántico, que es un vector de columna con cada entrada que proporciona la amplitud de probabilidad para que los valores en todas las ubicaciones del campo sean iguales a un conjunto de valores prescritos. Hay un mapeo uno a uno entre los estados en los dos espacios de Hilbert, es decir, son simplemente representaciones diferentes de los mismos estados. En cualquier caso, podemos definir estados como “un electrón en A o en B”, “un electrón en A o dos electrones en B y C”, “dos electrones en A y B o en C y D” (un estado entrelazado ) También podemos trabajar en la representación de momento, y definir “un electrón con momento X y otro con Y” y así sucesivamente.

La ventaja de la descripción del campo es que proporciona un enlace con la función de onda de una sola partícula, porque se usan las mismas ecuaciones de campo para ambos. En el caso del campo cuántico, se agregan condiciones cuánticas suplementarias para restringir las soluciones de las ecuaciones de campo a múltiplos de una sola partícula. Las restricciones hacen que la energía tenga una unidad adicional de 1/2, por lo que las energías son 1/2, 1-1 / 2, 2-1 / 2, 3-1 / 2 …

La 1/2 unidad adicional de energía es el resultado de la forma en que se cuantifica el campo. El valor del campo en cada punto del espacio se considera una coordenada abstracta observable, y los cambios en el valor se tratan como el conjugado observable de momento a esa coordenada. Existe una relación de incertidumbre entre la coordenada y el momento, lo que termina produciendo la 1/2 unidad adicional de energía y las “fluctuaciones de vacío”, que son valores de campo inciertos incluso sin partículas.

En las derivaciones que comienzan con el campo y traen el espacio de Fock más tarde, a menudo se dice que “las partículas emergen de la imagen del campo”. En mi opinión, las propiedades de las partículas ya estaban presentes en la versión de una sola partícula de la teoría, por lo que la descripción del campo no las cambia.

Con la descripción del espacio Fock o la descripción del campo, podemos definir operadores para modificar el estado. Los operadores típicos son
1) Agregar una partícula en un punto dado,
2) Destruye una partícula en un punto,
3) Agregue una partícula no localizada con un momento dado,
4) Destruye una partícula no localizada con un momento dado.
Para los electrones, especificaremos una condición de giro hacia arriba / hacia abajo, y también podemos elegir electrones o positrones.

Los hamiltonianos para situaciones específicas están formados por combinaciones de estos operadores.

Al describir el campo electromagnético, la necesidad de la teoría del campo cuántico se ha discutido mucho desde 1963, cuando Jaynes propuso que no había razón para usarlo, ya que la mayoría de los cálculos reales se hicieron sin él de todos modos, y las energías observadas de los “fotones” predijeron por la teoría del campo cuántico y anteriormente por Einstein podría explicarse únicamente por las propiedades de la materia con la que interactuaba el campo electromagnético. Se descubrió que muchos efectos que alguna vez se creyeron que requerían teoría de campo y fluctuaciones de vacío para su explicación eran explicables de otras maneras: cambio de cordero, efecto Kasimir y otros. Clauser demostró que es necesario agregar algo a las ecuaciones de Maxwell para tener en cuenta los efectos no locales, pero la cuestión de si el campo electromagnético tiene niveles de energía discretos es más sutil.

Le daré una respuesta de libro de texto, que puede que no le resulte intuitiva.

En cuanto a un campo clásico, se da una ecuación de evolución temporal o un hamiltoniano. Al tomar el campo como la coordenada, uno puede encontrar el impulso correspondiente. Como existe una relación de conmutación entre la posición y el momento, se puede definir el operador de creación / aniquilación, que describe las partículas.

Las partículas son los cuantos y el campo es el área en la que influyen en su entorno. Muy a menudo se dan en términos de voltios de electrones, pero se pueden convertir en muchas cosas.