¿Por qué la topología no es un área activa en la investigación, incluso si tiene muchos problemas sin resolver?

La premisa de la pregunta: “la topología no es un área activa de investigación”, simplemente no es cierta. La topología es un área de investigación extremadamente activa. Aunque yo no soy topólogo (soy un geómetra de carrera temprana), muchos de mis colegas lo son. Le dirán que la investigación en topología algebraica, topología diferencial, topología simpléctica y topología geométrica está prosperando.

Que la lista de Wikipedia de “problemas no resueltos en topología” sea tan escasa es un reflejo del hecho de que los investigadores no se han preocupado lo suficiente como para actualizarla. (De hecho, varias * áreas * completas de investigación matemática están casi ausentes de Wikipedia). Esto es probablemente por algunas razones.

Primero, los investigadores están ocupados. En segundo lugar, muchos problemas abiertos (tal vez la mayoría de ellos) requieren una gran cantidad de antecedentes para establecer con precisión. En tercer lugar, con tantos problemas abiertos en un campo dado, ¿cómo se determina cuáles deberían estar en la lista? Uno simplemente no puede enumerarlos a todos. Finalmente, los problemas abiertos se resuelven literalmente a diario; ¿Quién quiere actualizar una lista como esa?

Conjunto de puntos La topología no es un campo de investigación activo, pero todavía hay mucha investigación realizada en topología algebraica y otros brotes. Después de todo, la conjetura de Poincaré es un problema topológico (incluso si la solución no fuera del todo topológica).

Es difícil decir algo acerca de la topología pura general, es demasiado desestructurado. Sin embargo, no es del todo difícil encontrar conjeturas matemáticas que involucren estructuras topológicas, o que tengan soluciones que usen ideas topológicas.

La topología es un área de investigación extremadamente activa en estos días, particularmente la topología algebraica y sus extensiones a la teoría de categorías. Incluso hay un campo emergente en el aprendizaje automático relacionado con la topología (además del aprendizaje profundo) llamado análisis de datos topológicos (algunas referencias aquí: https://www.slideshare.net/Colle …). También están sucediendo muchas cosas en la teoría de los nudos en estos días, y aplicaciones en estadísticas (artículo relacionado con psicometría aquí: https://www.slideshare.net/Colle …).

La topología de conjunto de puntos está bastante bien definida y no es un área de mucha investigación activa, pero la topología tiene mucho más de lo que se enseña en una clase de posgrado de primer año.