Realmente nunca estudié los motivos, y la última vez que asistí a un seminario sobre ellos, tuve la impresión de que las personas que investigaban sobre ellos encontraban el estudio de los motivos razonablemente desafiante. En medio de un seminario sobre motivos que estaban destinados a matemáticos que no estaban en el mismo campo (por lo tanto, no tan altamente técnicos como lo serían para los especialistas), un orador comentó que “es posible que tenga que tomar mucha inteligencia pastillas “realmente para entender el siguiente comentario, después de lo cual la charla se hizo difícil para mí seguir. Supongo que ahora muchas de las esquinas oscuras del sujeto han sido iluminadas.
Hay algunos ejemplos más elementales de lo que estaban hablando con “períodos” que quizás pueda entender si conoce algún análisis complejo. Como señalaron en el artículo referenciado, algunos de los ejemplos motivadores originales tenían que ver con el movimiento pendular y la circunferencia de una elipse. Una de las cosas habituales para estudiar es la integral de [matemáticas] f (z) = \ sqrt {z ^ 3 + az + b} [/ matemáticas] donde [matemáticas] z [/ matemáticas] se extiende sobre los números complejos (y en general [math] a [/ math] y [math] b [/ math] también pueden ser números complejos). La solución a estos problemas clásicos se puede reducir a este tipo de integral.
Según el cálculo de la universidad, es probable que sepas que las integrales a menudo se pueden evaluar encontrando una integral indefinida [matemáticas] F [/ matemáticas] de [matemáticas] f [/ matemáticas], y restando valores de [matemáticas] F [/ matemáticas]. Entonces, si estamos integrando [matemática] f [/ matemática] de [matemática] u [/ matemática] a [matemática] v [/ matemática], donde [matemática] u [/ matemática] y [matemática] v [/ matemática] son números reales y la función es continua y definida en el intervalo de [matemática] u [/ matemática] a [matemática] v [/ matemática], sabemos que hay una integral indefinida [matemática] F [/ matemática] en el intervalo, y que la integral definida es [matemática] F (v) – F (u) [/ matemática]. El hecho de que [math] f [/ math] y [math] F [/ math] tengan valores complejos no es un problema.
- ¿Se podría usar el amplituedro para estudiar los efectos no perturbativos?
- ¿Se ha usado alguna vez la teoría del campo de cuerda para predecir las interacciones de partículas en el LHC que se han observado?
- ¿Cuánta energía se necesitaría para producir un campo que repele la radiación gamma, protónica y de neutrones? (Por metro de radio de una esfera)
- ¿Puede explicar para un profano en matemáticas cuáles son los números extraños encontrados en las colisiones de partículas descritas en este artículo?
- ¿Qué tan alta debería ser la frecuencia de un fotón para que ese único fotón destruya la Tierra?
Sin embargo, hay algunos obstáculos adicionales en este caso. Primero, tenemos que definir la raíz cuadrada cuidadosamente cuando usamos números complejos. Para números reales positivos, es habitual contar el número real positivo cuyo cuadrado es un número dado como su raíz cuadrada, pero en general hay dos números cuyos cuadrados son iguales a [matemática] z ^ 3 + az + b [/ matemática] y hay Ya no es una manera tan fácil de elegir cuál usar. A menudo las personas elegirán una “rama” de la función de raíz cuadrada. Por ejemplo, si [math] w [/ math] es un número complejo que no es un número real negativo, uno de los números cuyo cuadrado es [math] w [/ math] tendrá una parte real positiva. Esto está bien a menos que los valores de [matemática] z ^ 3 + az + b [/ matemática] en el intervalo pasen por un valor real negativo. Alternativamente, siempre que [matemática] z ^ 3 + az + b [/ matemática] no sea [matemática] = 0 [/ matemática] en cualquier parte del intervalo, siempre puede elegir una raíz cuadrada en un extremo del intervalo, y extenderlo en el intervalo por continuidad. Sin embargo, esto no necesariamente da como resultado que se use la misma raíz cuadrada en dos valores diferentes de [math] z [/ math] si [math] z_1 ^ 3 + az_1 + b = z_2 ^ 3 + az_2 + b [/ math] . En [math] z_2 [/ math] podríamos necesitar, por razones de continuidad, usar la raíz cuadrada del signo opuesto de lo que usamos en [math] z_1 [/ math]. Si en el plano complejo, [math] z ^ 3 + az + b [/ math] toma un bucle alrededor de 0, la raíz cuadrada regresa como la otra raíz cuadrada, e incluso si [math] z [/ math] es siempre un número real, esto puede suceder a la raíz cuadrada de [matemáticas] z ^ 3 + az + b [/ matemáticas] para complejos [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas].
Segundo, la integral indefinida [matemática] F [/ matemática] no puede expresarse en términos finitos de las funciones habituales más familiares: sumar, multiplicar, dividir, tomar raíces, funciones trigonométricas, exponentes y logaritmos. Puede darle una serie y calcularla de varias maneras, pero es esencialmente un nuevo tipo de función.
Tercero, para muchos propósitos realmente queremos permitir que [math] z [/ math] sea un número complejo. Esto nos da una complicación más fundamental a la historia. Una integral en el plano complejo ya no es simplemente de un valor a otro valor; Es una integral a lo largo de un camino de un valor a otro. El resultado del cálculo solo se aplica porque en la línea real hay esencialmente una sola forma de pasar de [matemáticas] u [/ matemáticas] a [matemáticas] v [/ matemáticas]. Si a [math] z [/ math] se le permite moverse en el plano complejo, entonces tiene rutas fundamentalmente diferentes para ir de [math] u [/ math] a [math] v [/ math] y la integral a lo largo del diferentes caminos pueden ser diferentes. Depende de cómo se posicione la ruta en relación con las raíces de [matemáticas] z ^ 3 + az + b [/ matemáticas] ya que es allí donde se encuentra el comportamiento extraño. El valor de la integral se mantiene igual si continuamente movemos el camino que toma [math] z [/ math] pero evitamos que toque alguna de las raíces.
Hay dos cosas que hacen que las integrales salgan de manera diferente. Uno es una especie de tecnicismo; si tomamos dos caminos desde [math] u [/ math] a [math] v [/ math] podemos llegar a [math] v [/ math] con dos ramas diferentes de la raíz cuadrada [math] \ sqrt {z ^ 3 + az + b} [/ matemáticas]. Por lo tanto, los valores reales que se integran no son los mismos a medida que nos acercamos a [math] v [/ math], lo que, naturalmente, marcaría la diferencia. Si tuviéramos que cambiar el signo de la raíz cuadrada y no cambiar nada más sobre la integral, el valor final solo cambiaría el signo. Para muchos propósitos, queremos considerar solo las rutas que comienzan y terminan con los mismos valores de la raíz cuadrada. Se dio cuenta de que algunos problemas técnicos podrían eliminarse si en lugar de trabajar solo en el plano complejo, reemplazáramos cada punto [matemático] v [/ matemático] por dos puntos diferentes dependiendo de la raíz cuadrada de [matemático] z ^ 3 + az + b [/ math] que estamos usando. Eso es equivalente a mirar los puntos [matemática] (w, z) [/ matemática] donde [matemática] w [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática] son números complejos, que satisfacen [matemática] w ^ 2 = z ^ 3 + az + b [/ matemáticas]. Ese cambio de perspectiva resultó ser bastante poderoso. Ahora podemos pensar en una integral de [matemáticas] w dz [/ matemáticas] a medida que avanzamos desde un punto [matemáticas] (s, u) [/ matemáticas] en este espacio a otro punto [matemáticas] (t, v) [ / matemáticas] en él.
Todavía es posible que la integral de [math] u [/ math] a [math] v [/ math] salga de manera diferente para dos caminos, incluso si comienzan y terminan con la misma elección de raíz cuadrada. Si [math] P_1 [/ math] es una ruta, cualquier otra ruta [math] P_2 [/ math] puede transformarse continuamente en un bucle que comienza y termina en [math] u [/ math] y luego sigue [math] P_1 [/ matemáticas]. Todavía queremos pensar primero en los caminos que evitan las raíces de [matemáticas] z ^ 3 + az + b = 0 [/ matemáticas]. Un camino que simplemente va a una raíz y lo rodea dos veces y luego regresa resulta que no aporta nada a la integral. Los caminos que giran alrededor de las raíces un número impar de veces nos dan la raíz cuadrada opuesta, por lo que los tiramos. Un camino que va muy lejos y luego gira alrededor de todas las raíces dos veces también contribuye cero a la integral. Una vez que el polvo se asienta, se da cuenta de que hay dos integrales cuyo valor necesita saber para comprender cuáles son los valores posibles de esta integral: si [math] z_1, z_2, z_3 [/ math] son las raíces de [math] z ^ 3 + az + b = 0 [/ math], queremos encontrar el valor de una integral que pasa (en sentido antihorario, por ejemplo) alrededor de las dos primeras raíces, y el valor de una integral que pasa alrededor de las dos últimas raíces. Supongo que en este punto básicamente asumí que [math] z_1, z_2, z_3 [/ math] son distintos. Gran parte de la discusión también se aplica a casos degenerados en los que dos o tres son iguales pero esta parte no es exactamente la misma. Todas las integrales que comienzan y terminan en los mismos puntos y con los mismos valores de la raíz cuadrada [matemáticas] \ sqrt {z ^ 3 + az + b} [/ matemáticas] difieren solo en cuántos múltiplos de estos dos “períodos” especiales “Integrales que incluyen.
Cuando en el artículo hablan de cohomología, hablan de calcular algo muy parecido a lo que describí, pero en general. Descubrir que tenía dos integrales especiales que necesitaba evaluar está estrechamente relacionado con encontrar que uno de los grupos de cohomología de cierto espacio geométrico es bidimensional. Tome este conjunto de [matemáticas] (w, z) [/ matemáticas] donde [matemáticas] w ^ 2 = z ^ 3 + az + b [/ matemáticas] y [matemáticas] w [/ matemáticas] y [matemáticas] z [ / math] son números complejos y modifíquelo un poco para hacer que la parte donde [math] z [/ math] y [math] w [/ math] sean grandes y más manejables (agregando un resumen “punto al infinito”) y usted obtén un espacio geométrico agradable, que cuando [matemática] z ^ 3 + az + b = 0 [/ matemática] tiene tres raíces distintas que se parecen a la superficie de una dona, o un tubo interno, aparte de una deformación continua. Los dos caminos especiales que deseamos considerar son solo las dos formas de dar vueltas en la superficie. Hay una imagen y una discusión relacionada en https://www.math.purdue.edu/~dvb….
Es posible que debería haber mencionado más arriba un ejemplo más simple de cómo una integral puede tener un valor dependiendo de la ruta tomada. La integral indefinida de [math] 1 / z [/ math], que es el logaritmo natural de [math] z [/ math] más una constante, tiene este mismo problema para las rutas que toman [math] z [/ math] alrededor de 0 Si realiza un bucle alrededor de 0, en sentido antihorario, agrega [math] 2 \ pi i [/ math] a la integral. Ese es el quid de cómo [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] termina siendo tan común en las matemáticas, como mencionan en el artículo referenciado.
El artículo referenciado describe algunos descubrimientos que contienen una especie de sorpresa estéticamente atractiva. Un lado de la historia tiene que ver con el tipo de cosas que he descrito aquí, que se relaciona más directamente con lo que sucede cuando viajas por una superficie o un espacio dimensional más alto que va lo suficientemente lejos de donde comienzas y terminas viniendo de vuelta de una manera diferente.
El otro lado de la historia, que se relacionan con los diagramas de Feynman, es de alguna manera opuesto. La teoría de la perturbación generalmente es una forma de analizar la situación suponiendo que está cerca de una situación simple como el vacío o algunas partículas que no interactúan. Luego, como supone que hay pocas posibilidades de interactuar, puede agregar correcciones. Es como usar una serie. Sabemos [matemáticas] \ sin (0) = 0 [/ matemáticas]. Si [math] t [/ math] es un ángulo pequeño, por continuidad sabemos que su seno es pequeño, pero para ser un poco más preciso, el seno de [math] t [/ math] (radianes) está cerca de [ matemáticas] t [/ matemáticas]. La curva sinusoidal está cerca de una línea recta cerca del origen. Pero sí se curva un poco. Entonces, si aún necesitamos ser más precisos, podemos tomar el próximo término; el seno de [matemáticas] t [/ matemáticas] está aún más cerca de [matemáticas] tt ^ 3/6 [/ matemáticas]. El seno resulta ser relativamente bien comportado. Tomar suficientes términos le dará un valor tan preciso para el seno de [math] t [/ math] como desee, incluso si [math] t [/ math] es grande. El uso de diagramas de Feynman es algo análogo al uso de este tipo de series (lo que tiene más sentido para valores pequeños de variables relevantes). Considera qué diferentes secuencias de interacciones contribuirían a la respuesta final y las usa como pequeñas correcciones en algún valor de línea de base original. Desafortunadamente, esto no funciona en general tan claramente como las series infinitas para la función seno. Los términos pueden funcionar realmente bien al principio solo para comenzar a empeorar si se toman demasiados.
Si lees el artículo al que se hace referencia, puedes decir que el autor espera que luego aprecies la rareza de descubrir que hay muchos de estos dos tipos muy diferentes de cosas cuyas respuestas están estrechamente relacionadas. Solo para subrayarlo, imagine que está en un círculo de 10 km de diámetro. Da la vuelta al círculo y descubre que se ha ido 31.4159… km. Pero luego resulta que tu amigo que se quedó en casa e hizo algún tipo de medición cerca de la casa también descubrió que [math] \ pi [/ math] también aparecía de alguna manera. Una vez que haya leído suficiente ciencia, probablemente debería dejar de pensar en este tipo de conexión inesperada como una “sorpresa”, porque siguen apareciendo. Sin embargo, es muy agradable cuando lo hacen.
