Esta pregunta se puede responder con bastante precisión con la ley de gravedad newtoniana, es decir, la fuerza que actúa sobre un cuerpo de masa [matemática] m [/ matemática] con la distancia [matemática] r [/ matemática] al centro de la tierra (que tiene la masa [matemática] M [/ matemática]) es:
[matemáticas] F = -G \ frac {M m} {r ^ 2} [/ matemáticas]
donde [matemáticas] G [/ matemáticas] es la llamada constante gravitacional. Ahora, esta fuerza, según el segundo axioma newtoniano, es proporcional a la derivada del tiempo del momento [matemática] p = mv [/ matemática] de este cuerpo, donde [matemática] v [/ matemática] es la velocidad del cuerpo:
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[math] \ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} t} = F [/ math]
[math] \ Rightarrow \ quad \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t} = – \ frac {GM} {r ^ 2} [/ math]
Esta es la ecuación de movimiento newtioniana. Si no está familiarizado con el cálculo diferencial: las d frente a las variables indican un diferencial , una diferencia “infinitamente pequeña” o “intervalo” de esa variable. [math] \ mathrm {d} r / \ mathrm {d} t [/ math] por ejemplo es igual a [math] v [/ math], la velocidad en un momento preciso. (Mientras que una relación de distancia finita y tiempo sería una velocidad promedio ).
Esta ecuación que tenemos ahora es una expresión que contiene un tiempo, pero su pregunta se planteó de una manera que solo pone las velocidades y distancias en relación entre sí. Entonces eliminamos el tiempo de nuestra ecuación con un pequeño truco:
[matemática] \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t} = \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} r} \ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} t} = \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} r} v [/ math]
Si ponemos eso en nuestra ecuación de movimiento y realizamos algunos reordenamientos:
[matemática] \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} r} v = – \ frac {GM} {r ^ 2} [/ math]
[math] \ Rightarrow \ quad v \, \ mathrm {d} v = – \ frac {GM} {r ^ 2} \ mathrm {d} r [/ math]
Estoy haciendo algo de matemática simplificada aquí por cierto, pero en este caso eso no conduce a ningún problema. Entonces, ahora lo que tenemos que hacer con esta relación de diferenciales (también llamada ecuación diferencial ) es integrarla . Lo que parece es esto:
[matemáticas] \ int \ limits_ {v_i} ^ {v_f} v \, \ mathrm {d} v = -GM \ int \ limits_ {r_i} ^ {r_f} \ frac {1} {r ^ 2} \ mathrm { d} r [/ matemáticas]
Aquí los subíndices i y f significan “inicial” y “final”. Integrar significa resumir todas esas diferencias “infinitamente pequeñas” en distancia y velocidad a medida que el cuerpo se mueve desde la distancia inicial, comenzando con su velocidad inicial, hasta su distancia final. Necesitas saber cálculo para resolverlo, así que solo te daré la solución a la integral:
[matemáticas] \ frac {1} {2} ({v_f} ^ 2- {v_i} ^ 2) = GM \ left (\ frac {1} {r_f} – \ frac {1} {r_i} \ right) [ /matemáticas]
En este punto, puede ver, si conoce su mecánica clásica lo suficientemente bien, que esta solución es simplemente la ley de conservación de la energía (simplemente multiplíquela por [matemáticas] m [/ matemáticas] si no la ve):
[matemáticas] \ frac {1} {2} m {v_i} ^ 2- \ frac {GM m} {r_i} = \ frac {1} {2} m {v_f} ^ 2- \ frac {GM m} { r_f} [/ math]
[matemática] 1/2 mv ^ 2 [/ matemática] es la energía cinética y – [matemática] GM m / r [/ matemática] es la energía potencial gravitacional. Entonces, incluso si no entendiste la parte de cálculo allí arriba, puedes seguir el razonamiento de aquí en adelante, pretendiendo que siempre utilicé la conservación de la energía desde el principio.
Si desea calcular la velocidad de escape [matemática] v_ \ text {esc} [/ matemática] por ejemplo, corresponde a una distancia final de [matemática] r_f = [/ matemática] [matemática] \ infty [/ matemática] ( matemática para “lejos”), una distancia inicial de [matemática] r_i = R [/ matemática] con el radio de la tierra [matemática] R [/ matemática] y una velocidad final [matemática] v_f = 0 [/ matemática] (porque “velocidad de escape” significa que el cuerpo “apenas” escapa). La velocidad inicial [matemáticas] v_i [/ matemáticas] sería, por supuesto, la velocidad de escape, y la ecuación conduciría a:
[matemáticas] v_i = v_ \ text {esc} = \ sqrt {\ frac {2 GM} {R}} [/ matemáticas]
Usted preguntó, cuál sería la velocidad del cuerpo lejos de la tierra, si saliera de la superficie de la tierra a tres veces la velocidad de escape. Esto significa, por supuesto, que tenemos que poner [math] v_i = 3 v_ \ text {esc} [/ math] y, naturalmente, también [math] r_f = \ infty [/ math] así como [math] r_i = R [ /matemáticas]. La respuesta a su pregunta se obtiene resolviendo la ecuación para [math] v_f [/ math]:
[matemáticas] {v_f} ^ 2 = 9 {v_ \ text {esc}} ^ 2- \ frac {2 GM} {R} = 8 {v_ \ text {esc}} ^ 2 [/ math]
[math] \ Rightarrow \ quad v_f = \ sqrt {8} v_ \ text {esc} [/ math]
Entonces, versión corta: si proyecta algo desde la superficie de la tierra (o de cualquier planeta o cuerpo celeste en realidad) con tres veces la velocidad de escape de la tierra (o ese planeta / cuerpo celeste) se desacelerará a la raíz cuadrada de ocho veces La velocidad de escape.
Si desea el valor numérico real, busque en Google la velocidad de escape y use una calculadora.
Editar: O déjame hacerlo por ti, ya que soy muy amable: la velocidad de escape del planeta tierra es 11186 m / s, por lo que esta vez la raíz cuadrada de ocho es 31639 m / s (con hasta cinco dígitos de importancia).
Y aún más en general: si proyecta un cuerpo con [matemáticas] a [/ matemáticas] veces la velocidad de escape, la velocidad lejos del planeta será:
[matemáticas] v_f = \ sqrt {a ^ 2-1} v_ \ text {esc} [/ matemáticas]
Como puede ver, [matemáticas] a <1 [/ matemáticas] significa que no hay solución, significa que el cuerpo no se aleja mucho del planeta. Inteligente, ¿eh?
Saludos, Silas
