Aichelburg y Sexl [1] consideraron el campo gravitacional de una partícula puntual con momento [matemática] p [/ matemática] que viaja a la velocidad de la luz. Daré un breve bosquejo, pero los detalles completos de las matemáticas me eluden y deberías leer el periódico.
Para comenzar, se puede resolver la versión linealizada de las ecuaciones de campo de Einstein para la perturbación métrica [matemática] h = g – \ eta [/ matemática] [2]. Usaremos [matemáticas] c = G = 1 [/ matemáticas] en todo momento. La ecuación para [matemáticas] h [/ matemáticas] en el indicador armónico es la ecuación de onda con la traza inversa del tensor de energía de estrés como fuente,
\ begin {ecuación}
\ Box h ^ {ij} = 16 \ pi (T ^ {ij} – T \ eta ^ {ij} / 2)
\ end {ecuación}
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El tensor de energía de estrés para un fotón puntual, que viaja en la dirección positiva x con [math] x (t = 0) = 0 [/ math] toma la forma [3]
\ begin {ecuación}
T ^ {ij} = p \ delta (x – t) \ delta (y) \ delta (z) \ begin {pmatrix} 1 y 1 y 0 y 0 \\ 1 y 1 y 0 y 0 \\ 0 y 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}
\ end {ecuación}
Observe que la forma de la ecuación de onda en gravedad linealizada con el medidor de armónicos es idéntica a la forma de la ecuación de onda para el potencial electromagnético de cuatro en el medidor de Lorenz; simplemente tiene más componentes, pero son independientes entre sí; es decir, cada componente de [math] h [/ math] solo depende del componente correspondiente de [math] T [/ math], al igual que cada componente de [math] A [/ math] solo depende del componente correspondiente de [matemáticas] J [/ matemáticas].
Estamos tentados a resolver la ecuación de onda utilizando la función de Green retardado, pero como señalan Aichelburg y Sexl, esto no funciona cuando la fuente viaja a la velocidad de la luz. En cambio, usan un ansatz (conjetura educada) de que la solución tiene la forma de una onda gravitacional de frente plano y escriben [math] h = \ delta (x – t) G_2 [/ math]. [4] Entonces es posible cancelar los términos [math] \ delta (x – t) [/ math] de ambos lados de la ecuación de onda y resolver [math] G_2 [/ math]. El resultado, después de bajar los índices, es:
\ begin {ecuación}
h_ {ij} = 2p \ delta (x – t) (\ log r) \ begin {pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}
\ end {ecuación}
La métrica en sí es similar a un potencial gravitacional. Para obtener el campo , que está directamente relacionado con la fuerza que siente una partícula de prueba, necesitamos calcular la conexión Levi-Civita mediante la diferenciación. Como la métrica no es cero solo en el hiperplano [math] x = t [/ math], lo mismo ocurrirá con la conexión. Eso implica que una partícula de prueba obtendría una “patada” instantánea cuando la coordenada x del fotón sea igual a su propia coordenada x. Suponiendo que la partícula de prueba se encuentra en el plano xy y es estacionaria, la cantidad de la “patada” se puede encontrar calculando [math] \ Gamma ^ 2_ {00} [/ math]. Ahorraré el cálculo, que es bastante simple, y declararé solo el resultado:
\ begin {ecuación}
\ Gamma ^ 2_ {00} = \ frac {p} {y} \ delta (x – t)
\ end {ecuación}
Entonces, por simetría, concluimos que en el instante [math] t = x_0 [/ math] donde [math] x_0 [/ math] es la coordenada x de la partícula de prueba, adquirirá una velocidad radial interna de [math] ] p / r [/ matemáticas] [5]. Uno puede hacer un análisis similar para las partículas de prueba en movimiento calculando los otros componentes de conexión. En particular, usando
\ begin {align}
\ Gamma ^ 2_ {01} & = – \ frac {p} {r} \ delta (xt) \\
\ Gamma ^ 2_ {11} & = \ frac {p} {r} \ delta (xt)
\ end {align}
podemos encontrar que para un fotón de prueba que viaja paralelo al fotón fuente, no hay deflexión, pero si es antiparalelo, la deflexión es cuatro veces la cantidad esperada para una partícula masiva.
Sin embargo, hay un problema con el análisis anterior, que es que no tenemos derecho a suponer que la métrica obtenida al resolver las ecuaciones linealizadas es realmente correcta en el hiperplano [math] x = t [/ math] ya que es singular allí, y solo se espera que la solución linealizada sea una buena aproximación en regiones donde la perturbación métrica tiene todos los componentes con una magnitud mucho menor que 1. Entonces Aichelburg y Sexl también resuelven el EFE exacto. Esto se hace considerando la transformación de Lorentz de la métrica de Schwarzschild, llevando la velocidad a 1 mientras que la masa en reposo va a 0 para que el impulso general se mantenga constante. Esto no es fácil de hacer: uno debe encontrar una transformación de coordenadas adicional para imponer para cancelar los infinitos. (Puede intentar hacerlo usted mismo comenzando con la versión cilíndrica de las coordenadas de Schwarzschild; ¡obtendrá un gráfico de coordenadas inútil que solo cubre el submanifold [math] r = 0 [/ math]!) Los detalles matemáticos se encuentran en el documento . Sorprendentemente, la conclusión es que la solución linealizada era exactamente correcta después de todo.
[1] http://sci-hub.cc/10.1007/BF0075…
[2] Tenga en cuenta que Aichelburg y Sexl usan [matemáticas] g = \ eta + 2h [/ matemáticas] en lugar de las más comunes [matemáticas] g = \ eta + h [/ matemáticas], por lo que sus resultados difieren en un factor de 2 de cómo se escribirían habitualmente.
[3] El tensor de energía de estrés electromagnético es siempre sin trazas, por lo que el lado derecho de la ecuación de onda se puede escribir simplemente como [matemáticas] 16 \ pi T ^ {ij} [/ matemáticas] en este caso.
[4] Es decir, la perturbación métrica es cero, excepto en el plano que contiene el fotón y es perpendicular a la velocidad del fotón.
[5] Por supuesto, esta fórmula solo es correcta cuando [math] r \ gg p [/ math]. De lo contrario, por supuesto, un valor de [matemática] u ^ r = -p / r [/ matemática] para la partícula de prueba no implica que el componente radial de la velocidad sea [matemática] -p / r [/ matemática] ya que la partícula se volverá relativista.
