El cambio rojo y el cambio azul ocurren debido al efecto Doppler en la luz.
Considere el efecto Doppler cuando el observador está estacionario y la fuente del frente de onda se está moviendo hacia él en la dirección x .
- ¿El sol detendrá la reacción de fusión si le arrojamos suficiente arena?
- Recientemente, la NASA descubrió 7 exoplanetas que están a 40 años luz de distancia. ¿Significa que las imágenes tomadas por el telescopio tienen 40 años?
- ¿Cómo puede moverse un agujero negro?
- ¿Cómo puede la teoría cuántica de la gravedad explicar los agujeros negros y el Big Bang?
- ¿Nos alcanza alguna vez la fuerza gravitacional de los objetos más allá del horizonte cosmológico?
La fuente se está moviendo hacia el observador estacionario
Nota : De acuerdo con nuestras convenciones, la velocidad de la fuente es constante y menor que la velocidad de la onda, la dirección x es positiva y solo se considera el movimiento a lo largo del eje x .
La velocidad de la onda es:
c = λS / T
dónde:
- c es la velocidad de la onda
- λS es la longitud de onda de la fuente o la distancia entre crestas
- T es el tiempo que le toma a una onda moverse una longitud de onda λS
Resolviendo para T :
T = λS / c
Si la fuente se mueve a una velocidad vS hacia un observador estacionario, entonces la distancia que la fuente se mueve en el tiempo T es:
d = vST
dónde
- d es la distancia que se mueve la fuente en el tiempo T
- vS es la velocidad de la fuente hacia un observador estacionario
Cuando la fuente se mueve en la dirección x , está “alcanzando” la onda emitida previamente cuando emite el siguiente frente de onda. Esto significa que la longitud de onda que llega al observador , λO , se acorta.
Nota : Si la fuente se moviera en la dirección opuesta, λO se alargaría.
La longitud de onda observada λO es entonces:
λO = λS – d
Longitud de onda observada en función de la velocidad de la fuente
Sustituya T = λS / c en d = vST :
d = vSλS / c
Sustituya este valor por d en λO = λS – d :
λO = λS – vSλS / c
Factorizar λS te da:
λO = λS (1 – vS / c)
La ecuación también se escribe a menudo como:
λO = λS (c – vS) / c
Si la fuente se aleja del observador, el signo de vS cambia.
Cambio en la longitud de onda
Defina el cambio en la longitud de onda como:
Δλ = λS – λO
Como λO = λS – d :
Δλ = λS – (λS – d)
También desde d = vSλS / c :
Δλ = λS – (λS – vSλS / c)
Δλ = λSvS / c
Observador en movimiento y fuente estacionaria
Suponga que la fuente es estacionaria y el observador se está moviendo en la dirección x lejos de la fuente.
Observador alejándose de las olas que se aproximan
Encontrar la longitud de onda observada
En esta situación, la frecuencia de onda observada es una combinación de la velocidad de la onda y la velocidad del observador, dividida por la longitud de onda real:
fO = (c – vO) / λS
dónde
- fO es la frecuencia observada
- vO es la velocidad del observador
Pero también fO = c / λO:
c / λO = (c – vO) / λS
Reciprocando ambos lados de la ecuación:
λO / c = λS / (c – vO)
λO = λSc / (c – vO)
Multiplicar por c:
λO = λS / [(c – vO) / c]
Así:
λO = λSc / (c – vO)
o
λO = λS / (1 – vO / c)
Cambio en la longitud de onda
El cambio en la longitud de onda se define como:
Δλ = λS – λO
Sustituir λO = λSc / (c – vO):
Δλ = λS – λSc / (c – vO)
Multiplicar λS por (c – vO) / (c – vO):
Δλ = [λS (c – vO) – λSc] / (c – vO)
Reduce y simplifica:
Δλ = [λSc – λSvO− λSc] / (c – vO)
Así:
Δλ = −λSvO / (c – vO)
o
Δλ = λS / (1 – c / vO)
Ecuación de longitud de onda general
Cuando tanto la fuente como el observador se mueven en la dirección x, puede combinar las ecuaciones individuales para obtener una ecuación de longitud de onda del efecto Doppler general.
Sea λO1 la ecuación de longitud de onda para una fuente en movimiento y un observador estacionario:
λO1 = λS (c – vS) / c
Para el caso en que tanto la fuente como el observador se mueven, sustituya λO1 por λS en el
λO = λSc / (c – vO):
λO = λO1c / (c – vO)
λO = [λS (c – vS) / c] c / (c – vO)
Simplificar:
λO = λSc (c – vS) / c (c – vO)
Así:
λO = λS (c – vS) / (c – vO)
o
λO (c – vO) = λS (c – vS)
Cambio en la longitud de onda
El cambio general en la longitud de onda es:
Δλ = λS – λO
Sustituir por λO:
Δλ = λS – λS (c – vS) / (c – vO)
Δλ = [λS (c – vO) – λS (c – vS)] / (c – vO)
Δλ = (λSc – λSvO – λSc + λSvS) / (c – vO)
Así:
Δλ = λS (vS – vO) / (c – vO)
