La respuesta corta es: dados supuestos simples sobre el espacio de estado, los operadores lineales son las cosas naturales que surgen.
Cuanto más tiempo va a requerir algún conocimiento matemático sobre operadores autoadjuntos y espacios de Hilbert. Usted ha sido advertido: proceda bajo su propio riesgo.
Recordamos el hecho de que el espacio de estado es un espacio de Hilbert [matemática] \ matemática {H} [/ matemática]; es un espacio vectorial para acomodar el hecho de que necesitamos considerar superposiciones de estados [matemática] c_1 \ phi + c_2 \ psi [/ math], y tiene una estructura de espacio interno del producto ya que necesitamos poder modelar el colapso de la función de onda. Este último punto merece algo de reflexión.
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Definimos el producto interno de la siguiente manera: [matemática] \ langle \ psi, \ phi \ rangle = 0 [/ matemática] si y solo si hay alguna [matemática] A [/ matemática] observable, si medimos [matemática ] A [/ math] para los estados [math] \ psi [/ math] y [math] \ phi [/ math], siempre obtenemos resultados diferentes. Entonces tiene sentido definir operadores de proyección que fijen algunos subespacios [matemática] S [/ matemática] de [matemática] \ matemática {H} [/ matemática] y triture todos los vectores ortogonales a [matemática] S [/ matemática] a cero.
La interpretación física de dicho operador de proyección es la siguiente: medimos el estado y encontramos que está en el subespacio [matemáticas] S [/ matemáticas]. Cualquier componente del estado que sea inconsistente con esa medida desaparece en ese momento. Por ejemplo, supongamos que estamos modelando un electrón. [math] S [/ math] corresponde al subespacio de estados confinados dentro de algún recuadro. El electrón está inicialmente en algún estado [matemático] \ psi [/ matemático] de modo que tiene alguna probabilidad de ser medido dentro de esa casilla, y alguna probabilidad medida fuera de la casilla. Luego, hacemos una medición y descubrimos que el electrón está dentro de la caja. En ese momento, el estado del electrón es [matemática] P_S \ psi [/ matemática], donde [matemática] P_S [/ matemática] es el operador de proyección que fija [matemática] S [/ matemática] y aplasta todo lo ortogonal a ella .
Ahora, considere cualquier observable. Para facilitar la exposición, continuaré usando position, que denotaré [math] X [/ math]. Dado que siempre podemos considerar los diversos componentes de la posición por separado, supondré además que la posición solo varía en algún lugar entre [math] (- \ infty, \ infty) [/ math] (es decir, tenemos algo unidimensional, en lugar de 3- dimensional).
Para cualquier observable, hay una familia correspondiente de subespacios correspondientes a varias mediciones. Por ejemplo, tenemos el subespacio de estados para los que se medirá la posición en [matemáticas] (-1,1) [/ matemáticas]. También tenemos el subespacio de estados para los que se medirá la posición en [matemáticas] (-3, -1) \ cup (4,5 \ sqrt {2}) [/ matemáticas].
De manera equivalente, para cualquier observable hay una familia correspondiente de operadores de proyección. Es decir, tenemos un mapa que toma subconjuntos de la línea real [matemática] S \ mapsto P ^ X (S) [/ matemática], donde [matemática] P ^ X (S) [/ matemática] es el operador de proyección que elimina todo componentes inconsistentes con la medición [matemática] X [/ matemática] en el subconjunto [matemática] S [/ matemática]. (Técnicamente, estoy haciendo trampa un poco, solo deberíamos considerar los subconjuntos de Borel , en lugar de todos los subconjuntos, pero esta es una distinción en la que no quiero entrar).
¿Qué propiedades debería tener esta familia de operadores de proyección? Afirmo que deberían satisfacer:
- [math] P ^ X (\ emptyset) = 0, \ P ^ X (\ mathbb {R}) = id [/ math] —después de todo, para cada estado debemos medir [math] X [/ math] para tomar en algún valor, pero por otro lado si permitimos cualquier valor de [math] X [/ math], entonces obtendremos todo el espacio de estados.
- Deje que [math] S_1, S_2, S_3, \ ldots [/ math] sea un número contable de subconjuntos disjuntos de [math] \ mathbb {R} [/ math]. Entonces [matemática] P ^ X \ left (\ bigcup_i S_i \ right) = \ sum_i P ^ X (S_i) [/ math] —si lo piensa, tanto el lado izquierdo como el derecho corresponden al operador de proyección que corrige el subespacio donde [matemática] X [/ matemática] se mide como [matemática] S_1 [/ matemática] o [matemática] S_2 [/ matemática] o [matemática] S_3 [/ matemática] …
Las familias de operadores de proyección con estas propiedades se conocen como medidas con valor de proyección . Si observa las dos propiedades dadas anteriormente, la razón de esta convención es clara: si, en lugar de mapear a operadores de proyección que acabamos de mapear a números reales, las dos propiedades anteriores solo estarían diciendo que el mapa [matemático] S \ mapsto P ^ X (S) [/ math] es una medida.
Como tal, quizás no sea tan sorprendente que podamos definir una integral que corresponda a esta medida con valor de proyección: la construcción es esencialmente la misma que la de construir una integral a partir de una medida normal con valor real. Para un subconjunto dado [math] S \ subset \ mathbb {R} [/ math] y una función [math] f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {C} [/ math], denotamos esta integral por
[matemáticas] \ int_S f (x) dP ^ X (x) [/ matemáticas]
Podría pasar bastante tiempo discutiendo las fascinantes propiedades de esta integral. Por ejemplo, sorprendentemente,
[matemáticas] \ int_S x ^ 2 dP ^ X (x) = \ left (\ int_S x dP ^ X (x) \ right) ^ 2 [/ math].
Sin embargo, vamos a ser un poco más modestos y solo presentaremos el siguiente operador
[matemáticas] X = \ int _ {\ mathbb {R}} x dP ^ X (x) [/ matemáticas].
Sí, estoy abusando de la notación aquí también llamando al operador [math] X [/ math]. Sin embargo, afirmo que este operador es en realidad lo que queremos estudiar; de hecho, es lo suficientemente fundamental como para que los físicos simplemente identifiquen este operador con lo observable. Es decir, en el caso particular donde [math] X [/ math] denota la posición, esta integral elegante define exactamente el operador de posición.
Puede verificar que todo tipo de propiedades agradables se mantengan para este operador. Por ejemplo, es autoadjunto y [math] \ langle \ psi, X \ psi \ rangle [/ math] da el valor esperado de [math] X [/ math] para el estado [math] \ psi [/ matemáticas].
De hecho, este operador codifica toda la información sobre el observable [math] X [/ math]. Este es un hecho no trivial, y requiere que el Teorema espectral lo pruebe, pero lo que esencialmente equivale a esto es que: aunque comenzamos con la medida con valor de proyección para construir [matemáticas] X [/ matemáticas], podríamos tener se ha ido fácilmente al otro lado y ha derivado la medida (proyectada de manera única) con valor de proyección asociada con el operador [math] X [/ math].
