¿Cuál es la importancia real de las restricciones, si las hay, en la solución del problema de la braquistocrona utilizando el principio de Hamilton?

Cuando hablé esto en Google recibí “el Brock besó un problema de compinche”, que trajo algunos videos interesantes de lucha libre. En realidad, recuerdo este problema desde la secundaria, cuando solía leer una revista llamada Science World, y me preguntaron qué tipo de canal en U haría que un rodamiento de bolas llegara al fondo más rápido, uno recto o uno curvo llamado cicloide. Nunca pude descubrir cómo convertir un canal de aluminio en un cicloide, pero el tema me fascinó. El problema de la braquistocrona se ha resuelto de muchas maneras diferentes, incluso sin el uso directo del cálculo de variaciones, de las cuales este problema es la cuestión fundamental de fundación. Al encontrar la ruta mínima con respecto al tiempo entre las restricciones de los puntos finales del sistema en un campo gravitacional, es decir. Como mínimo funcional del movimiento en un sistema conservador, identificamos la ecuación de la curva en el espacio. En términos lagrangianos, encontramos la “acción” mínima del sistema, y ​​el principio de Hamilton de que en un sistema conservador (una restricción importante), la acción es estacionaria, produce la expresión lagrangiana que iguala la derivada temporal de la tasa de cambio del lagrangiano con respecto a las derivadas de tiempo de las coordenadas generalizadas, es igual a la derivada del lagrangiano con respecto a las coordenadas mismas.