Estableces el problema como lo harías si fuera un ángulo pequeño usando tu método de elección (lagrangiano, newtoniano, lo que sea) y obtienes
[matemáticas] \ ddot {\ theta} + \ dfrac {l} {g} sin \ theta = 0 [/ matemáticas]
que se reduce a un oscilador armónico simple para valores pequeños de [math] \ theta [/ math]. Con algo de aritmética puedes resolver la ecuación en términos de tiempo para obtener
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[matemáticas] t = \ dfrac {l} {2g} \ int_ {0} ^ {\ theta ‘} \ dfrac {d \ theta} {\ sqrt {cos \ theta-cos \ alpha}} [/ math]
dado el valor inicial [math] \ theta_0 = 0 [/ math] en [math] t = 0 [/ math] y define [math] \ alpha = \ theta [/ math] cuando [math] \ dot {\ theta} = 0 [/ matemáticas].
Esta integral se puede llevar a la forma de una integral elíptica del primer tipo y resolver durante el período del péndulo:
[matemáticas] T = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {l} {g}} \ left (1+ \ dfrac {1} {4} k ^ 2 + \ dfrac {9} {64} +… \ right) [/matemáticas]
donde [matemáticas] k ^ 2 \ equiv sin ^ 2 (\ alpha / 2) [/ matemáticas].
