¿Es cierto que los físicos son descuidados en matemáticas?

Permíteme hablar por analogía.

Un físico y un matemático quieren cruzar un río.

El físico salta a través de las rocas que sobresalen del río.

El matemático observa esas mismas rocas, comprueba que todas son estables y las usa para construir los cimientos de un puente. El matemático luego cruza el puente hacia el físico y le pregunta:

“¿Estas loco? ¡Podrías haberte caído al río en cualquier punto y haber estado empapado!

El físico responde:

“Bueno, claro, y me habría mojado. Sin embargo, saltar sobre las rocas me lleva mucho menos tiempo y generalmente no me mojo, así que estoy dispuesto a correr el riesgo de dar un paso en falso de vez en cuando “.

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Creo que es justo decir que los físicos son descuidados por conveniencia. Sin embargo, los matemáticos hacen lo mismo, pensando tan libremente como hacen el mismo enlace. Sin embargo, un matemático tiene que regresar y limpiar su acto después (antes de publicar), para asegurarse de que no haya puntos defectuosos en el camino. Para un físico, básicamente, si funciona, se trata como prueba suficiente, y si no funciona, entonces regresarán y encontrarán otra forma.

Creo que ‘Sloppy’ es la palabra equivocada; Sin embargo, creo que los físicos / ingenieros intentan evitar las matemáticas rigurosas a menos que sea absolutamente crucial. Una vez discutí esto con un profesor y él me dijo que evita los trabajos que tienen demasiadas matemáticas abstractas porque consume mucho tiempo. Debe tener en cuenta que ambos Físicos / Ingenieros no están entrenados como matemáticos, sus metas y objetivos son completamente diferentes a los de las matemáticas puras; de hecho, tienden a adoptar un enfoque de caja negra siempre que sea posible. Parece extraño pensar que adoptar un enfoque de caja negra puede ser útil en física; sin embargo, hay casos en los que un problema es en realidad mucho más intuitivo si ve algún componente del problema como un conjunto de entradas y salidas.

Además, es bastante interesante que menciones a David Hilbert en realidad. Aunque es “relativamente;)” desconocido, Hilbert y Einstein estuvieron una vez en una carrera hacia una teoría matemática para la gravitación. La ventaja de Hilbert en matemáticas era enorme; sin embargo, finalmente fue derrotado, aunque vale la pena señalar que Einstein sí consultó bastante a su amigo Marcel Grossman (su amigo y muy buen matemático).

No obstante, creo que los físicos consideran que las matemáticas son muy importantes; Lo siguiente es un extracto de una carta que Albert Einstein escribió:

“En este momento estoy trabajando únicamente en el problema de la gravitación y creo que podré superar todas las dificultades con la ayuda de un matemático local y amigable. Pero una cosa es cierta, que nunca he trabajado tan duro en mi vida, y que me han inyectado un gran asombro de las matemáticas, que en mi ingenuidad hasta ahora solo veía como un puro lujo en sus formas más sutiles. En comparación con este problema, la teoría original de la relatividad es un simple juego de niños “.

Parece que lo estás haciendo personal :-), pero esta es una de las preguntas más interesantes que he leído aquí en Quora, por sí misma y por sus implicaciones.

En cierto modo, lo anticipé en mi respuesta La respuesta de Javier García-Julve a ¿Qué bote que se muestra en la imagen en el detalle de la pregunta estará lleno primero? donde pensé que la diferencia entre el enfoque del físico en el del ingeniero, en ese caso, era clara. En cualquier caso, como Eric Platt lo declaró sucintamente

No es tanto una pregunta si son descuidadas, sino una pregunta para qué se usan las matemáticas.

No es que sean descuidados, es decir, no estrictamente lógicos, sino que tienen que serlo, como se aclara en las otras respuestas. La anécdota de Tom McDonald es una buena ilustración. En realidad, su profesor me recordó a nuestro profesor de astronomía, quien nos dijo que la astronomía es el arte de saber qué ignorar. En la misma página estaba nuestro profesor de termodinámica, que utilizaba derivados parciales como cocientes incrementales, lo que nos aseguraba que, por supuesto, nuestros colegas de matemáticas lo reportarían, pero, como físicos, teníamos derecho a ello.

Nuestro derecho deriva de la diferencia crítica que Max Lupton señala en su respuesta:

La física es una CIENCIA EXPERIMENTAL, mientras que la matemática es una CONSTRUCCIÓN LÓGICA CONSISTENTE, basada en axiomas arbitrariamente seleccionados.

Y es en este punto que su pregunta se vuelve realmente interesante. Puede estar obteniendo más de lo que esperaba, a medida que se topa con el enigma de los enigmas, la relación entre la mente y el mundo a través de la materia. Sabemos que el mundo está hecho de lo que nuestros sentidos y física, según su información, identifican como ‘materia’. Y ahí mismo comenzamos a meternos en problemas porque las propiedades aparentes de la materia que conocemos a través de la experiencia ordinaria están en desacuerdo con las propiedades que conocemos a través de experimentos realizados en el laboratorio por medio de la materia misma.

Por lo tanto, no es sorprendente que las discrepancias también surjan en la relación entre el funcionamiento de la mente, como es la lógica puramente formal de las matemáticas, y los fenómenos naturales en el mundo registrados en la física. Pero no creo eso, como dice Max Lupton:

El hecho de que el mundo físico pueda ser modelado en gran medida por las matemáticas es […] una feliz coincidencia

Es feliz, de hecho, pero lejos de ser una coincidencia, creo. Resulta que nuestra mente, mediada por el cerebro, está orientada a reproducir en términos lógicos abstractos aspectos de los fenómenos naturales. Pero los fenómenos naturales van mucho más allá de las construcciones de la lógica matemática. La física trasciende las matemáticas y la vida trasciende la física. Reducir la vida a la física no es realista, y también lo es reducir la física a las matemáticas.

Cuando la física necesita sistemas matemáticos para expresar estructuras de procesos, las matemáticas pueden suministrarlos … o no. Por ejemplo, cuando Heisenberg necesitaba un instrumento matemático para su marco de mecánica cuántica, Max Born lo introdujo en la multiplicación de matrices. Pero, que yo sepa, hasta la fecha no existe un aparato matemático para resolver el problema general de los cuerpos n, aunque, obviamente, los cuerpos describen órbitas o trayectorias definidas, más bien.

Un caso interesante es el uso de números complejos y la fórmula de Euler, que involucra números imaginarios. En mi opinión, “imaginario” es un nombre inapropiado aquí porque el problema es precisamente que no podemos imaginar un número que sea la raíz cuadrada de -1 (¡aunque podría argumentar que no podemos imaginar ningún número!). De todos modos, eso es un problema para nuestra mente ontológica, no para nuestra mente lógica. (Al igual que la relatividad del tiempo y el espacio, o el indeterminismo cuántico.) Nuestra mente lógica sigue adelante de todos modos y construye una teoría formal donde ese número existe, o una geometría afinada donde las líneas paralelas se cruzan, o lo que sea consistente, no importa si es real Como dijo Eric Platt, depende de tu propósito. Mientras lo que hagas sirva para el propósito, sin incurrir en contradicción, está bien.

Por lo tanto, todo se reduce a lo que es posible en nuestra mente o en la realidad. Lo que es posible en nuestra mente depende del acceso restringido a la realidad, el asunto del que depende lo permite y de las operaciones que puede llevar a cabo. Ese acceso es parcial, y esas operaciones son un subsistema de los procesos naturales, es natural que las matemáticas no puedan describir completamente los fenómenos naturales. El físico pasa por alto esa deficiencia y se apega a sus observaciones, no a las demandas de los matemáticos. Y eso, básicamente, ¡eso!

Creo que las respuestas han perdido un punto crucial que vale la pena hacer. La física es una CIENCIA EXPERIMENTAL, mientras que la matemática es una CONSTRUCCIÓN LÓGICA CONSISTENTE, basada en axiomas arbitrariamente seleccionados.

Las matemáticas no tienen ímpetu para reflejar nada en el mundo físico. El hecho de que el mundo físico pueda ser modelado en gran medida por las matemáticas es una feliz coincidencia y un testimonio de la increíble versatilidad de las matemáticas y sus practicantes. Este desprecio por la relevancia física de sus matemáticas podría verse como matemáticos “descuidados” con la realidad y el mundo real.

Los físicos validan sus teorías comparando predicciones experimentales, a menudo basadas en matemáticas, con observaciones experimentales de la realidad. Les importa mucho más predecir los resultados del mundo real que el desarrollo riguroso de los axiomas asumidos, por lo que en cierto sentido son “descuidados con las matemáticas” de la misma manera que los matemáticos son descuidados con “la realidad física que experimentamos”.

La teoría cuántica es el mejor ejemplo en el que puedo pensar para mostrar cómo las matemáticas y la física tienen motivaciones diferentes. La teoría cuántica es solo un conjunto de reglas que funcionan muy bien para predecir los resultados de los experimentos. No hay una razón matemática o estética por la que estas reglas deban funcionar, solo lo hacen. Como predicen que los científicos de la realidad, incluidos los físicos, los abrazan a pesar de que no se conoce una forma de derivarlos de los primeros principios. Que yo sepa, los matemáticos no tienen respuesta sobre por qué funcionan las reglas básicas de la física cuántica o cómo derivarlas de los primeros principios.

En resumen, los físicos son juzgados por cuán estrechamente se corresponden sus teorías con la realidad, no por cuán rigurosamente se desarrollan a partir de los primeros principios, por lo que tienden a ser “descuidados” o menos rigurosos con las matemáticas. Los matemáticos son juzgados por cuán rigurosamente desarrollan ideas a partir de primeros principios o axiomas, independientemente de las aplicaciones físicas, por lo que son “descuidados” con respecto a las aplicaciones de palabras reales. El álgebra booleana y los números imaginarios no tenían aplicaciones físicas cuando fueron concebidos originalmente.

Entonces, si se siente cómodo diciendo que los físicos hacen matemática descuidada, debe aceptar que los matemáticos son descuidados con la realidad. Si alguien sabe de un departamento experimental de matemáticas, me encantaría saberlo. No estoy seguro de cómo harías matemáticas experimentales.

Creo que sí.

Tengo un par de ejemplos para ilustrar.

1. Durante una clase de mecánica cuántica, utilizamos el teorema de convergencia dominada de Lebesgue para obtener algo. Pregunté si deberíamos verificar si la serie de funciones que estábamos analizando cumplía con los supuestos del Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue. El profesor me miró por un tiempo y luego dijo: “Sabes, los físicos tenemos un hábito. Si necesitamos que una función tenga algún tipo de propiedad, asumimos que sí y continuamos. Nos preocupamos por suposiciones más tarde. Lo llamo el lema de los físicos.
2. Cuando los matemáticos enfrentan una ecuación, primero se preguntan si tiene soluciones. Los físicos saben que las ecuaciones que describen lo que sucederá en el mundo real tienen soluciones, algo está destinado a suceder. La mayoría de las veces soluciones únicas. Si hay más de una solución, eso es “interesante”.
3. Esto puede ser algo personal, pero los físicos que conozco tienden a preocuparse menos por la estética de un resultado que por su utilidad. Es por eso que resuelvo la mayoría de los problemas escolares en geometría usando geometría analítica. No tiene que imaginar una línea adicional que lo resuelva todo. Simplemente escribe ecuaciones, y listo, 5 horas después se resuelven.

La respuesta a esta pregunta se basa en las áreas de física en las que está trabajando. Pero para “la mayoría” de los físicos (físicos matemáticos que le estoy mirando) las matemáticas son una herramienta.

A veces, los físicos desarrollan algunas teorías muy interesantes que descubren diferentes áreas de las matemáticas que los matemáticos desconocían o no buscaban activamente. Los físicos abusan de las propiedades matemáticas que son aplicables a sus teorías y dejan el resto para que los matemáticos lo descubran.

Tuve un profesor de pregrado que era un físico matemático que fue profesor de física y matemática durante toda su carrera. No le gustaban los supuestos matemáticos injustificados que los físicos a veces hacían.

Todo se reduce a que los físicos y los matemáticos están tratando fundamentalmente de resolver problemas separados. La matemática es en gran medida una herramienta para los físicos, por lo que no enfatizan todas las propiedades únicas de un objeto matemático porque no son físicas. Entonces, casi según la definición de matemático, los físicos son menos rigurosos.

Después de haber cruzado la frontera entre las matemáticas y la física por un tiempo (mi licenciatura era en física teórica y matemática aplicada y ahora soy técnicamente un matemático aplicado): el físico no es descuidado, a menudo simplemente no les importa (o necesitan ) sobre los detalles que algunos matemáticos necesitan precisar.

En mi licenciatura, esto se notó en la forma en que los físicos podían usar las transformadas de Fourier para resolver una miríada de problemas, pero a menudo no podían mostrar por qué la transformación de Fourier era aplicable. Los matemáticos podían mostrar todos los pequeños detalles de la transformación de Fourier, pero no tenían ninguna posibilidad de usarla para resolver problemas.

Como matemático aplicado (a menudo siento que mi enfoque está más cerca de los físicos que de los matemáticos), trataré con campos que supongo que están limitados (porque sé que las velocidades en la situación física con la que estoy tratando son siempre finitas) mientras que tengo amigos matemáticos que probarían que el campo debe ser finito o que lo declaren como una suposición al principio.

Tal vez, pero eso no es necesariamente algo malo. Uno de mis profesores de física favoritos se describió a sí mismo como un tipo de “martillo y pinzas”. A veces estaríamos haciendo un problema en el tablero que requería una gran integral fea de varias partes. Lo miraría y diría “Hmm. Entonces, esta parte aquí será insignificante durante el intervalo que estamos integrando. Y esta parte aquí está tan cerca de ln (x) que podemos sustituirla en su lugar. Y esta parte aquí se parece mucho a lo negativo de esta parte aquí, por lo que probablemente podemos asumir que se cancelarán “. Y él reduciría el gran intervalo feo a algo bastante simple, luego lo integraría y diría:” Entonces la respuesta será de unos 60 “.

En un par de ocasiones me iría a casa esa noche y trataría de resolver con precisión la integral, usando sustituciones trigonométricas y sustituciones u , e integración por partes, y tendría que consultar tablas de integrales, y después de todo estaba dicho y hecho. Obtendría la respuesta más precisa de 58.8. Todo esto para una aplicación en la que cualquier cosa entre 55 y 65 habría estado lo suficientemente cerca como para alcanzar la velocidad de escape o llenar el tanque al 90% de su capacidad o mover el peso hacia abajo de la pendiente o lo que sea. Pasé 3 horas en comparación con sus 30 segundos. Realmente admiraba a este chico. Sabía cuál era el objetivo, y llegó allí.

Depende de lo que se intente … para ambos.

Algo así como una prueba matemática tiene que ser muy riguroso en ambos campos … pero las motivaciones son diferentes.

Los físicos están tratando de aprender lo que es verdad sobre el Universo, por lo que no necesitan, de inmediato, mostrar cómo deben seguir sus matemáticas de algunas de las matemáticas mostradas anteriormente, solo necesitan demostrar que es verdad.

Usted demuestra que algo es verdad al compararlo con la realidad, no con las matemáticas anteriores. Las matemáticas más rigurosas del mundo no pueden decirte qué es real, pero la realidad puede decirte qué matemáticas son las más prometedoras.

Una clara comparación que escuché fue con el lenguaje … los físicos son novelistas, escritores y dramaturgos; mientras que los matemáticos son lingüistas y gramáticos. Un gramático usará el lenguaje con mucha más precisión y rigor que un novelista.

Los físicos son extremadamente cuidadosos y precisos cuando hacen matemáticas, al menos según los estándares de ingenieros, biólogos, químicos y la mayoría de las otras ciencias.

Son intolerablemente descuidados según los estándares de los matemáticos.

La diferencia es uno de los objetivos. Los físicos no están muy interesados ​​en la precisión matemática; están fascinados por la relación entre matemáticas y ciencias. Para comprender esa relación, centrarse en obtener todos los detalles correctos puede ser un impedimento.

Los físicos son muy buenos en física, pero lo que hacen no es matemática. Para un matemático, el uso de las matemáticas por parte de un físico parece descuidado. Para un físico, la insistencia del matemático en el rigor parece ser analretentiva.

Los físicos están (generalmente) más interesados ​​en resolver problemas en física que en asegurarse de que su intuición sea lógicamente sólida con pruebas. No es tanto una pregunta si son descuidadas, sino una pregunta para qué se usan las matemáticas.

Afortunadamente para todos nosotros, este es el caso ya que la naturaleza (en su mayor parte) trabaja con las cosas más bonitas de las matemáticas, como las funciones infinitamente diferenciables. La intuición que tienen los físicos tiende a ser correcta la mayor parte del tiempo y se puede lograr un gran progreso mientras los matemáticos arreglan las cosas cuando es necesario. Cuando se necesita una formulación matemática adicional o rigor, entonces entran los amigos matemáticos, solo eche un vistazo a Einstein.

Como estudiante de matemáticas que también estudia física, agradezco ambos enfoques. Como ejemplo en este momento, la teoría del campo cuántico está bastante completa en el lado de la física de las cosas, pero los matemáticos todavía están tratando de descubrir qué está sucediendo con la teoría de la renormalización. Ciertamente no es riguroso resumir algunos tipos de sumas divergentes y asignarle un valor; Algo está sucediendo allí que quisiera ser resuelto.

Se podría decir descuidado, donde podría decir audaz. La física tiene el desagradable hábito de producir números infinitos en algunas teorías, en algunos casos, donde la física básica parece sólida, como en la electrodinámica cuántica. Para obtener resultados útiles, que es el objetivo de los cálculos físicos, los físicos han asumido que los infinitos positivos cancelan los infinitos negativos (renormalización) y continúan desde allí. Los resultados han producido teorías que hacen predicciones de acuerdo con las mediciones en muchos decimales. Esto horrorizaría a un matemático, pero los físicos lo justifican sobre la base de los resultados.

Puede hacerlo usted mismo. Encuentre el área debajo de la curva tangente trigonométrica, por ejemplo, de 45 grados a 180 grados. Se integrará a través de una discontinuidad a 90 grados, lo que detendría a un matemático en su camino. Pero si asume alegremente que el infinito positivo cancela el infinito negativo (por simetría), obtendrá una respuesta perfectamente razonable.

Soy un ingeniero con una maestría en física.

En una clase de física tuvimos un problema matemático bastante difícil. El instructor convirtió la ecuación en un número complejo integrado en sentido antihorario y luego volvió a convertirlo en real. Los profesores de matemáticas gritaron, el instructor de física dijo: “” tienes razón, pero funciona, seguir adelante ”

¡Ah, y nosotros los ingenieros eran obvios!

Y por cierto. Echa un vistazo a la derivación de F = MA. Newton era un dios. Vemos más porque nos paramos sobre sus hombros. Le llevó a nuestro instructor una clase de 3 horas y 3 pizarras blancas, borrando y escribiendo. No puede comprender su genio.

Cuando estaba en el último año de la escuela secundaria, acabo de completar las pruebas de mi voluntad de sobrevivir que amenazan la vida, a menudo denominadas exámenes AP . Tomé Física C y Cálculo, entre otros. Ambos exámenes presentaron secciones de opción múltiple.

Para la física, nos dieron un poco menos de 90 segundos / pregunta . Eso es un minuto y medio para: leer y comprender la situación física, convertir todo el significado físico en interacciones simbólicas correctas, considerar cualquier fórmula aplicable, generalmente hacer algunos cálculos y luego, por supuesto, llegar a un valor razonable (pero quizás mucho decimal lugares) respuesta.

Para el cálculo, tuvimos unos 150 segundos / pregunta . En ese momento, uno tenía que: mirar los números o ecuaciones dados, manipularlos exactamente como las instrucciones le indicaron y llegar a la respuesta intencionalmente simple (se aseguran de que sepa que tiene razón cuando obtiene una respuesta simple) .

Parece que la prueba física de C me hizo hacer muchas de las mismas cosas que el cálculo me hizo hacer, con algo de distracción obligatoria y menos camuflaje físico, en el 60% del tiempo que tomaría el cálculo. Supongo que quieren que los físicos trabajen “más descuidadamente” para que noten más problemas por minuto que los matemáticos.

[matemáticas] 1 + 1 = 0.6 \ qquad \ text {QED} [/ matemáticas]

Hay una anécdota que dice algo como esto: un colega de Pauli le dijo entusiasmado que von Neumann acababa de publicar un artículo que proporcionaba una prueba matemática rigurosa de algo (sobre mecánica cuántica) que los físicos sabían “intuitivamente” debe ser cierto. Pauli respondió “si la física se tratara de pruebas, von Neumann sería un físico bastante bueno”.

Sí, es cierto.

La diferencia es que los físicos están tratando de hacer un modelo del universo real. Entonces, en cierto sentido, tienen la respuesta al final del libro: ¡es el mundo real! Si al final su modelo no está de acuerdo con esto, entonces saben que tienen que regresar y verificar sus suposiciones.

Por lo tanto, pueden permitirse el lujo de ser un poco flojos y centrarse en tratar de construir un modelo físico viable en lugar de cruzar cada t y puntear cada i en términos de matemáticas. Al final, si su teoría falla, pueden regresar y volver a visitar si las matemáticas estaban justificadas.

¡No es que no puedan ser tan rigurosos como los matemáticos, es solo que si lo hicieran, pasarían todo su tiempo siendo matemáticos y no físicos!

La física es práctica, la matemática es teórica. Los físicos matemáticos lo hacen lo suficientemente bueno para ese propósito. Las matemáticas son su herramienta, no su objetivo. Descuidado tiene una connotación negativa. Los físicos son menos rigurosos acerca de las matemáticas porque no tienen que serlo. Confían en su intuición física

Después de haber estudiado matemáticas y física y haber trabajado en la industria durante casi cincuenta años, encuentro poco para respaldar su afirmación de que los físicos son descuidados en matemáticas. Por el contrario, los físicos están muy centrados en ser buenos matemáticos. Por supuesto, hay muchos estudios en matemáticas que Physicist nunca usará solo porque no tienen aplicación en sus actividades. Eso no significa que no estén al tanto de esos estudios. Si está buscando técnicas matemáticas descuidadas, mire hacia el campo de la ingeniería. Para no dispersar esa disciplina, es solo que han desarrollado una matemática, repleta de “atajos”, que satisfacen sus necesidades.

No es verdad. Todos los físicos son buenos en matemáticas, tienen que serlo. Todos los métodos de aproximación que usan los físicos tienen una base sólida en matemáticas. Y los físicos teóricos son esencialmente matemáticos especializados.

Sin embargo, los físicos normalmente no prueban teoremas, si eso es lo que estás preguntando, por lo que su trabajo no necesita involucrar el rigor que generalmente exige una prueba matemática. Eso no es descuido, es solo una demanda completamente diferente.