La palabra “equivalente” es una noción en la ciencia que varía según el contexto, por lo que es posible que deba refinar un poco su pregunta. Creo que tienes el presentimiento de que son equivalentes en el sentido de que al conocer el impulso de un sistema, podemos deducir automáticamente su energía cinética, por lo tanto, en términos de contenido de información del sistema, son equivalentes. Pero esto no es cierto porque el impulso contiene información sobre su dirección que no puede deducirse de la energía cinética. Esta es una de las razones por las cuales, clásicamente, un sistema puede describirse completamente por posición y momento, (x, p), pero no con posición y energía cinética, (x, T).
Dicho esto, sin embargo, una magnitud de impulso podría servir como una equivalencia a su energía cinética, ya que existe una correspondencia uno a uno. Supongamos que tenemos una partícula con masa conocida, [math] \ small m = 1 [/ math] solo por simplicidad, entonces hay un uno a uno y en correspondencia entre esas cantidades, [math] \ small | p | \ leftrightarrow T = p ^ 2/2 [/ math]. Esto forma una relación de equivalencia de la siguiente manera
Digamos que hay cantidades físicas [math] \ small x_1, x_2, x_3 [/ math] luego definimos una relación equivalente para ser,
[math] \ small x_1 \ sim x_2 [/ math] si y solo si [math] \ small f (x_1) = x_2 [/ math] donde [math] \ small f ^ {- 1} [/ math] existe
Esto satisface los axiomas de la relación de equivalencia
- [matemáticas] \ pequeño x_1 \ sim x_1 [/ matemáticas] (reflexividad)
- [matemática] \ pequeña x_1 \ sim x_2 [/ matemática] => [matemática] \ pequeña x_2 \ sim x_1 [/ matemática] (simetría)
- [matemática] \ pequeña x_1 \ sim x_2 [/ matemática] y [matemática] \ pequeña x_2 \ sim x_3 [/ matemática] => [matemática] \ pequeña x_1 \ sim x_3 [/ matemática] (transitividad)
En otras palabras, dos cantidades físicas forman una relación de equivalencia cuando hay un mapeo uno a uno y también conocido como biyección. En inglés simple, si conocemos una de las cantidades, definitivamente conocemos la otra simplemente calculando, así que en nuestro caso, sabemos T del sistema, entonces definitivamente sabemos | p | y viceversa es decir | p | ~ T.
La siguiente pregunta es, ¿esta relación se mantiene en algún sistema? Esto ciertamente es válido para el sistema clásico, pero ¿qué pasa con el sistema cuántico? Resulta que esto todavía es válido para un sistema de partículas libres donde la energía y el momento conmutan compartiendo el mismo conjunto completo de estados propios, sin embargo, esta simetría se rompe, ya no se conmutan a medida que introducimos un pozo potencial en el sistema, entonces ya no es posible deducir su energía cinética del momento medido y viceversa. Esto nos motiva aún más convincentemente a tratar la energía cinética y el impulso como información separada de un sistema físico.
