Gracias por el A2A. Mi respuesta se basa en lo que aprendí en la clase de Análisis en un programa de matemáticas de pregrado. Cuando dice “derivada”, el contexto es para funciones de [math] \ mathbb {R} [/ math] a [math] \ mathbb {R} [/ math], aunque la idea de diferenciación se ha generalizado en gran medida . Las funciones analíticas para funciones complejas son análogas a las funciones diferenciables para funciones reales. Otras generalizaciones son variedades diferenciables, derivados de Gâteaux y derivados de Fréchet. Estas son todas generalizaciones de la derivada en un entorno diferente. Mi respuesta proporcionará una definición formal de la derivada para funciones reales. Primero, comenzamos con la definición de un límite.
Sea [math] (X, d_X) \ text {and} (Y, d_Y) [/ math] sean espacios métricos, sea [math] J \ subseteq X [/ math] y sea [math] g: J \ to Y [/ math] sea una función. Sea [math] a \ in X [/ math] un punto límite de [math] J [/ math]. Decimos que [math] \ lim_ {x \ to a} f (x) = L [/ math] siempre que para todos [math] \ varepsilon> 0 [/ math], exista [math] \ delta> 0 [ / matemática] tal que si [matemática] x \ en J [/ matemática] y [matemática] 0 <d_X (x, a) <\ delta [/ matemática], entonces [matemática] d_Y (f (x), L) <\ varepsilon [/ math].
Ahora podemos definir la derivada.
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Deje que [math] K \ subseteq \ mathbb {R} [/ math] tal que [math] K [/ math] sea todo [math] \ mathbb {R} [/ math] o sea una unión de muchos -degenerar intervalos disjuntos.
Deje que [math] f: K \ to \ mathbb {R} [/ math] sea una función y deje que [math] x \ in K [/ math].
Definir una función [math] DQ_x: K \ setminus \ {x \} \ to \ mathbb {R} [/ math] dada por [math] DQ_x (y) = \ frac {f (y) -f (x)} {yx} [/ math]. La función [matemática] DQ_x [/ matemática] se denomina cociente de diferencia de f en el punto x . Para obtener la derivada de f en un punto límite x , tomamos el límite del cociente de diferencia a medida que y se acerca a x . Decimos que f es diferenciable en x siempre que [math] \ lim_ {y \ to x} \ frac {f (y) -f (x)} {yx} [/ math] exista.
Si f es diferenciable en cada punto de un conjunto S , decimos que f es diferenciable en S. En este caso, podemos definir la función
[matemáticas] f ‘: S \ to \ mathbb {R} [/ matemáticas]
por [math] f ‘(x) = \ lim_ {y \ to x} \ frac {f (y) -f (x)} {yx} [/ math]. Si el conjunto S es el conjunto de todos los puntos en los que f es diferenciable, esta función se llama derivada de f .
