No ha especificado en qué ángulo se lanza la pelota, por lo que lo mantendré como una variable llamada [math] \ theta [/ math], donde 0 significa horizontal.
Para una velocidad inicial [matemática] v_0 [/ matemática] y una altura inicial [matemática] h [/ matemática], tenemos estas condiciones iniciales:
[matemáticas] x (0) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] y (0) = h [/ matemáticas]
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[matemáticas] x ‘(0) = v_0 \ cos \ theta [/ matemáticas]
[matemáticas] y ‘(0) = v_0 \ sin \ theta [/ matemáticas]
Dado que la gravedad solo actúa en [matemáticas] y [/ matemáticas], la evolución de [matemáticas] x [/ matemáticas] a lo largo del tiempo solo está determinada por una velocidad constante:
[matemáticas] x (t) = v_0 \ cos (\ theta) t [/ matemáticas]
La ecuación para [matemática] y [/ matemática] se puede derivar a partir de la aceleración gravitacional constante, [matemática] a (t) = y ” (t) = – g [/ matemática], y después de conectar las condiciones iniciales lleva a:
[matemáticas] y (t) = – \ frac {1} {2} gt ^ 2 + v_0 \ sin (\ theta) t + h [/ matemáticas]
Ahora queremos encontrar el tiempo, [math] t_B [/ math], en el que ocurre el primer rebote:
[matemáticas] y (t_B) = – \ frac {1} {2} g t_B ^ 2 + v_0 \ sin (\ theta) t_B + h = 0 [/ matemáticas]
Usando la fórmula cuadrática y tomando el caso donde el tiempo es positivo:
[matemáticas] t_B = \ frac {v_0 \ sin \ theta + \ sqrt {v_0 ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta + 2 gh}} {g} [/ matemáticas]
Ahora conecte esto a [math] x (t) [/ math] para encontrar la distancia horizontal entre el punto inicial y el primer rebote:
[matemáticas] x_B = v_0 \ cos \ theta \ left (\ frac {v_0 \ sin \ theta + \ sqrt {v_0 ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta + 2 gh}} {g} \ right) [/ math]
Si el ángulo original es 0 (horizontal), el primer pico se produce al principio. Si el rebote es perfectamente elástico (no se pierde energía), volverá a la altura original en la misma cantidad de tiempo, mientras cubre la misma distancia horizontal.
Entonces, el próximo pico será en [matemáticas] x_P = 2 x_B [/ matemáticas] y [matemáticas] y = h [/ matemáticas].
Si el ángulo original no es 0, puede calcular la altura del primer pico de la siguiente manera:
[matemática] y ‘(t_P) = -g t_P + v_0 \ sin \ theta = 0 [/ matemática]
[matemáticas] t_P = \ frac {v_0 \ sin \ theta} {g} [/ matemáticas]
Entonces, la altura de los picos primero y segundo (nuevamente, suponiendo rebotes perfectamente elásticos) es [matemática] y (t_P) [/ matemática] y las ubicaciones horizontales son [matemática] x (t_P) [/ matemática] y [matemática] x (t_B + (t_B-t_P)) = x (2 t_B-t_P) [/ math] respectivamente.
