Esta es una gran pregunta, y no sé si hay una interpretación acordada (lo cual es bueno, porque las diferentes interpretaciones conducen a nuevas ideas). Por lo tanto, debería tomar mi propia interpretación con un grano de sal, porque de ninguna manera es “correcta” con una C mayúscula. Simplemente lo he encontrado útil.
Permítanme decir primero que creo que podría ser útil no pensar en sostenes y kets como vectores de fila y columna, respectivamente, sino como objetos mucho más abstractos. La razón de esto es que la mayoría de los espacios de Hilbert que nos interesan en QM y QFT son de dimensión infinita. De hecho, a menudo son “MUY infinitas dimensiones” en el sentido de que tienen la misma dimensionalidad que la cardinalidad del continuo de los números reales. Si tuviéramos que escribir un ket que viva en un espacio de Hilbert de dimensión infinita como un vector de columna, tendría infinitas entradas, y si la dimensionalidad de ese espacio de Hilbert fuera infinitamente infinita, entonces incluso un vector de columna infinitamente largo no sería bien definido. Por lo tanto, pensaría en estos objetos de manera más abstracta, como lo describo a continuación (y prometo que pronto me alejaré de las matemáticas y comenzaré a hablar de física, pero a veces algunas matemáticas son útiles).
Pero si pensamos en estas cosas de manera más abstracta, ¿cómo lo hacemos? La verdadera identidad matemática de estos objetos son los vectores (kets) y los vectores duales (sujetadores), donde los vectores viven en un espacio de Hilbert y los vectores duales viven en el espacio dual. Hay muchos problemas matemáticos que surgen cuando las cosas son de dimensión infinita (espacios de Hilbert graduados, etc.), pero no me preocuparé por ellos, ya que no hacen nada por la intuición física. Supongamos, por el momento, que las cosas son de dimensión finita (para que los vectores de columna y fila tengan sentido) y construyamos nuestra intuición desde allí.
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Es un hecho que si me das un espacio vectorial de dimensiones finitas (sobre los números reales R, por ejemplo), entonces puedo construir otro espacio vectorial, llamado espacio vectorial dual, de mapas lineales del espacio vectorial que me entregaste a R. Si me entrega un espacio vectorial de vectores de columna, el espacio vectorial dual que construiría es el espacio vectorial de los vectores de fila (es decir, todos y cada uno de los mapas lineales de los vectores de columna a R pueden escribirse como vectores de fila). En QM y QFT, un ket es un vector en un espacio de Hilbert, y un sostén es un vector dual en el espacio dual que he construido.
Ahora hablemos de física. Como dijiste, el espacio de Hilbert es la versión mecánica cuántica de un espacio de configuración (más o menos) y, por lo tanto, cada ket en el espacio de Hilbert representa un estado del sistema (tenga en cuenta que kets distintos pueden representar el mismo estado (múltiplos complejos constantes) del ket), así que realmente “modificamos” por esta equivalencia, bla, bla, bla). Además, un sujetador, que es un vector dual, es solo un mapa lineal desde los kets hasta los números complejos (dado que nuestro espacio de Hilbert es un espacio vectorial complejo), y este mapa lineal se produce por el producto interno que conocemos y amamos. . Pero esto todavía no nos da una interpretación física de un sostén. ¿Qué puede ser una interpretación física de algo que “come un estado físico y escupe un número complejo”?
Así es como lo pienso (a veces). Elija un punto en el tiempo y “quédese allí”. Entonces, “futuro” es de alguna manera dual al “pasado”. Una partícula puede estar sentada en una caja en el pasado, o puede hacerlo en el futuro. El estado en sí podría ser el mismo, es decir, su función de onda espacial podría ser la misma, pero de alguna manera queremos considerar el estado “al principio” y el estado “al final” como objetos de alguna manera diferentes. Por lo tanto, si | Psi> es un ket, puedo pensar en eso como “el sistema se ha preparado en el estado | Psi>”, y si <Phi | es un sostén, puedo pensar en eso como "el sistema ha evolucionado hacia el estado <Phi |". Estas son de alguna manera nociones "duales", en mi opinión. A saber, "estar preparado para" puede considerarse como dual para "evolucionar hacia". Cuando preguntamos "¿cuál es la probabilidad de que un sistema preparado en Psi evolucione a Phi?", Realmente estamos preguntando por el cuadrado de mod de .
Esta interpretación me ha resultado útil por dos razones. Primero, encapsula las similitudes entre sostenes y kets. Después de todo, estos son de alguna manera “los mismos” objetos, en el sentido de que codifican la misma información (podemos asignar libremente sujetadores a kets y kets a sujetadores bajo conjugación hermitiana, así como podemos cambiar fácilmente de pensar que un estado ha sido preparado para pensar en ello se ha convertido en). En segundo lugar, esta interpretación funciona bien para QFT, donde ya no está bien hablar libremente de “elegir un momento y permanecer allí” porque necesitamos que todo funcione con una relatividad especial. Aun así, podemos discutir “dentro de los estados” y “fuera de los estados” en un proceso de dispersión, por ejemplo, en cuyo caso los kets funcionan para el primero y los sostenes para el segundo. La similitud entre eso y la interpretación anterior es útil, para mí.
Pero como dije, realmente deberías pensar en esto y ver si es salsa para ti. Después de todo, QM, QFT y toda la física se trata de encontrar matemáticas que predigan y estén de acuerdo con la naturaleza. Nuestra interpretación de lo que las matemáticas “realmente significan” siempre está en debate, mientras que las matemáticas en sí no lo están.
