¿Cuáles son los prerrequisitos matemáticos para la teoría cuántica de campos (en orden ascendente)?

El físico Gerard ‘t Hooft ha escrito un artículo muy detallado respondiendo exactamente esta pregunta:

Gerard ‘t Hooft, la física teórica como desafío

No puedo responder por mí mismo, ya que no sé mucho sobre física, pero el tipo tiene un Premio Nobel, así que supongo que sabe de lo que está hablando.

Para resumir lo que él enumera como prerrequisitos matemáticos:

• Álgebra lineal y multilineal
• Análisis funcional básico
• Teoría básica del grupo y teoría de la representación.
• Geometría diferencial y grupos de Lie
• Ciertas técnicas específicas de PDE
• Cálculo de variaciones, técnicas de generación de funciones, integración funcional.
• El principio extremo (no sé qué es esto personalmente)

Realmente no puedo colocar los requisitos previos en ningún orden porque todos son igualmente necesarios solo para superar las matemáticas de QFT. Comprender QFT cualitativamente es otra cuestión. Sin embargo, esto está en orden de lo más definitivamente posible.

• Cálculo de variables simples y múltiples
• Análisis funcional y cálculo de variaciones
• Análisis complejo (alguna vez alguien sugirió Real Analysis antes, pero eso no es estrictamente necesario)
• Un buen conocimiento práctico de aproximaciones de Taylor, Fundamentos de las funciones Delta de Dirac, Funciones Verdes, Transformadas de Fourier, funciones especiales como la función Gamma, Gauss, Beta, etc.
• Teoría de grupo / Álgebra de mentiras / Álgebra abstracta: si definitivamente planeas ir lejos en QFT

Desde el punto de vista matemático, uno necesitaría conocer el cálculo vectorial multidimensional, especialmente las integrales multidimensionales, variables complejas que incluyen el concepto de resolver integrales de contorno utilizando el teorema integral de Cauchy y los residuos, ecuaciones diferenciales parciales, expansión de la serie Taylor de funciones complejas y tensores y teoría de grupos relevante para la física.

La habilidad matemática más importante que uno necesita adquirir en QFT es la capacidad de manejar integrales multidimensionales altamente triviales. Estos constituyen la parte clave de la renormalización perturbativa y el análisis del grupo de renormalización de una QFT dada.

Se requiere una habilidad, desarrollada solo a través de la práctica prolongada y paciente, compuesta por partes iguales de habilidad matemática e intuición para manejar estas integrales. Las computadoras ayudan, pero no hay sustituto para las horas y los días que pasan luchando para progresar.

Michael Betancourt hace un buen trabajo al explicar que la geometría diferencial es fundamental para comprender realmente QFT. Resulta que la geometría diferencial vincula la mayoría de las matemáticas (teoría de grupos, cálculo de tensor y espín, análisis real y complejo, etc.) juntas. Recomiendo leer el camino a la realidad de Roger Penrose, ya que es pedagógico en su tratamiento de algunas de las herramientas matemáticas utilizadas en QFT.

Las matemáticas que necesitará saber y comprender bien son:

1. Cálculo variable único (para incluir tanto diferencial como integral)
2. Cálculo multivariable
3. El teorema de Taylor y otras técnicas de aproximación.
4. Ecuaciones diferenciales ordinarias y métodos para resolverlas.
5. Las ecuaciones diferenciales parciales y los métodos los resuelven.
6. Ecuaciones integrales y métodos para resolverlos.
7. Cálculo de variaciones.
8. Ecuaciones diferenciales funcionales (definidas con la función delta de Dirac) y métodos para resolverlas.
9. Respira, hay más
10. Álgebra lineal
11. Ecuaciones lineales y métodos para resolverlos.
12. Análisis complejo
13. Números hipercomplejos
14. Teoría de conjuntos
15. Teoría del múltiple
16. Cálculo en colectores
17. Paquetes de fibra
18. Teoría del grupo de mentiras
19. Cálculo del tensor (recomiendo usar notación esquemática para ayudar con los cálculos en esta matemática)
20. Cálculo Spinor
21. Cálculo exterior

La matemática de las líneas 14-21 es lo que se considera geometría diferencial. Hay muchas matemáticas para saber y comprender. ¡Y lleva mucho tiempo aprenderlo! ¡No se desanime, todo se puede entender con determinación!

Soy estudiante universitario y básicamente estoy aprendiendo teoría cuántica de campos. Hasta lo que he aprendido, uno necesita tener algún conocimiento de los tensores y cómo hacer malabares con los índices, aunque todavía no sé en qué medida se requieren tensores, ya que hasta ahora solo tenía que aplicar el uso de bajar y subir de índices. El cálculo variacional es importante, así como el cálculo de residuos porque los propagadores comienzan a llegar desde muy temprano (en la mayoría de los libros que he visto). La teoría de grupo es integral. Aunque no tengo ningún entrenamiento formal en el tema, creo que será más que suficiente paciencia y práctica.

Lagrangean, Hamiltonean, Algebra de Lie, notación de función de onda de Heisenberg y notación de matriz de Dirac

Depende de para qué lo quieras usar. Si quieres entender la naturaleza fundamental del mundo, solo necesitas álgebra de secundaria. Si desea usarlo para ingeniería, no necesita ninguna matemática, simplemente puede escribir los valores en el software que lo calcula por usted. Solo necesita matemática avanzada si desea codificar su propio software.

Esto podría ayudar: http://functionspace.org/article …