Consideremos [math] L ^ {2} (\ mathbb {R}) [/ math] (el conjunto de todas las funciones integrables al cuadrado en [math] \ mathbb {R} [/ math]) como nuestro espacio de Hilbert.
La función [math] e ^ {ikx} [/ math] (también conocida como onda plana ) no pertenece al conjunto [math] L ^ {2} (\ mathbb {R}) [/ math]. Eso significa que esta función no es normalizable (al menos en el sentido en que estamos acostumbrados) y no podría interpretarse como una función de onda.
¿Qué pasa con las funciones propias del operador de impulso [math] -i \ frac {d} {dx} [/ math] (estoy usando unidades naturales en las que [math] \ hbar = 1 [/ math]) como operador en [ matemáticas] L ^ {2} (\ mathbb {R}) [/ matemáticas]? ¡Las ondas planas parecen ser funciones propias perfectamente válidas de este operador, pero no pertenecen al espacio de Hilbert en el que se define el operador!
Pero bueno, las ondas planas no son tan inútiles, sabemos que podemos expresar todas las funciones [matemática] f (x) [/ matemática] en [matemática] L ^ {2} (\ mathbb {R}) [/ matemática] como la antitransformada de su transformada de Fourier [math] f ^ {*} (k) [/ math] de la siguiente manera:
- ¿Hay otras ondas autosustentables, aparte de la luz, que no requieren un medio para viajar?
- Si la luz son ondas electromagnéticas, ¿qué son los fotones? ¿Cómo viajan en línea recta?
- ¿Sería capaz un detector de ondas gravitacionales con más de 2 "brazos" para calcular mejor la dirección de la onda?
- ¿Hay algún cambio en las características de una onda de sonido (por ejemplo, amplitud, frecuencia, etc.) a medida que se mueve a través de varios medios como el agua, el aire y los sólidos?
- ¿Qué es una explicación intuitiva de una interacción eikonal?
[matemáticas] f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int e ^ {ikx} f ^ {*} (k) dk [/ matemáticas]
Esto significa que cada función en [math] L ^ {2} (\ mathbb {R}) [/ math] puede expresarse usando ondas planas, en otras palabras, las ondas planas son un sistema completo para [math] L ^ {2} (\ mathbb {R}) [/ math] (la generalización a un espacio de Hilbert de dimensión infinita de una base en un espacio vectorial de dimensión finita). Eso significa que podemos escribir el problema espectral para el operador de impulso como:
[matemáticas] -i \ frac {d} {dx} f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int ke ^ {ikx} f ^ {*} (k) dk [/ matemáticas]
Esto es exactamente lo que espera de una descomposición espectral, lo que significa que una onda plana [matemática] e ^ {ikx} [/ matemática] está realmente cerca de ser una función propia del operador de momento con valor propio [matemática] k [/ matemática] .
Lo bueno es que cada onda plana se puede aproximar arbitrariamente bien por una función que pertenece a [math] L ^ {2} (\ mathbb {R}) [/ math] (en el sentido de que siempre hay una secuencia de funciones que son integrables al cuadrado que convergen a la onda plana deseada).
La terminología aquí es que las ondas planas no son en realidad funciones propias del operador de momento, sino que se denominan funciones propias generalizadas .
En la práctica, esto no es un problema ya que sabemos perfectamente que las ondas planas no son físicas y no hay forma de que un sistema físico pueda estar en un estado cuya función de onda coincida perfectamente con una onda plana.
Espero haber ayudado! 🙂
PD: si está buscando más información sobre el tema, intente verificar Rigged Hilbert Spaces y Gelfand Triples.
