Supongo que ‘entiendes’ que las partículas se encuentran en el centro del cuadrado, y que el cuadrado en sí mismo se encoge con el tiempo, llegando finalmente al área cero cuando las partículas se encuentran.
La solución más simple (Velocidad relativa) Considera que te estás moviendo con una de las partículas. Desde su marco de referencia, una partícula se aleja de usted, mientras que otra partícula lo persigue. La partícula que se aleja de usted lo hace en una dirección perpendicular a la línea que une las partículas, por lo tanto, no aumenta la distancia entre las partículas. La partícula que se mueve hacia ti lo hace en una dirección a lo largo de la línea que une las dos partículas. El resultado neto es que ves una partícula moverse hacia ti con una velocidad de [matemáticas] v [/ matemáticas].
Como la distancia inicial entre las partículas adyacentes era [matemática] a [/ matemática], el tiempo que tardan las partículas en encontrarse es [matemática] a / v [/ matemática].
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Enfoque matemático I (ecuaciones diferenciales) Considere el siguiente bosquejo. Muestra las posiciones de las partículas (en algún momento [matemáticas] t [/ matemáticas]) y las posiciones cambiadas después de algún tiempo [matemáticas] \ Delta t [/ matemáticas].
[ La imagen es solo para fines ilustrativos, por lo tanto, es aproximadamente correcta. Para una estimación más precisa de la ruta tomada por cada partícula, vea la gráfica de MATLAB a continuación. ]
Queremos descubrir cómo cambia la longitud de un lado del cuadrado con el tiempo.
Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC,
[matemáticas] x (t + \ Delta t) ^ 2 = (x (t) -v \ Delta t) ^ 2 + (v \ Delta t) ^ 2 [/ matemáticas]
En expansión,
[matemáticas] \ displaystyle \ implica x (t + \ Delta t) ^ 2 = x (t) ^ 2 + (v \ Delta t) ^ 2 -2v x (t) \ Delta t + (v \ Delta t) ^ 2 [/matemáticas]
Deje que [math] x (t) ^ 2 = A (t) [/ math] [math] [/ math] representa el área del cuadrado en [math] t [/ math]. Usando esto en lo anterior
[matemáticas] \ displaystyle \ implica A (t + \ Delta t) = A (t) – 2v \ sqrt {A (t)} \ Delta t + 2v ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica A (t + \ Delta t) – A (t) = – 2v \ sqrt {A (t)} \ Delta t + 2v ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 [/ matemática]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ frac {A (t + \ Delta t) – A (t)} {\ Delta t} = – 2 \ sqrt {A (t)} v + 2v ^ 2 \ Delta t [/ math ]
Tomando el límite [matemática] \ Delta t \ rightarrow 0 [/ matemática], el LHS se convierte en una derivada y el último término en el RHS se convierte en cero.
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ frac {dA (t)} {dt} = -2v \ sqrt {A (t)} [/ matemáticas]
Esto produce una ecuación diferencial
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ frac {dA (t)} {\ sqrt {A (t)}} = -2vdt [/ matemáticas]
que puede evaluarse para el cambio en la longitud del lado del cuadrado con el tiempo.
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ int_ {a ^ 2} ^ {{x (t)} ^ 2} \ frac {dA (t)} {\ sqrt {A (t)}} = -2v \ int_ {0 } ^ {t} dt [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica 2 \ sqrt {A (t)} | _ {a ^ 2} ^ {{x (t)} ^ 2} = -2vt [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica | x (t) | – a = -vt [/ matemáticas]
Podemos encontrar el tiempo en el que las partículas se encuentran estableciendo [math] x (t = t_0) = 0 [/ math], que da [math] t_0 = a / v [/ math], lo mismo que arriba.
Enfoque matemático II (ecuaciones diferenciales acopladas)
La respuesta de Hare Krishna Singh es agradable. Este método tiene la ventaja adicional de que nos da el camino tomado por las partículas también explícitamente.
Doy el código MATLAB utilizado para resolver las cuatro ecuaciones diferenciales acopladas y el gráfico correspondiente.
función dx = fourBugs_x (t, x)
Función de espacio de estado%
dx = ceros (4,1);
dx (1) = x (2) -x (1);
dx (2) = x (3) -x (2);
dx (3) = x (4) -x (3);
dx (4) = x (1) -x (4);
final
función dy = fourBugs_y (t, y)
Función de espacio de estado%
dy = ceros (4,1);
dy (1) = y (2) -y (1);
dy (2) = y (3) -y (2);
dy (3) = y (4) -y (3);
dy (4) = y (1) -y (4);
final
% Para escribir en la ventana de comandos
% Asumo que los errores están en las esquinas de un cuadrado de 10 × 10 inicialmente
[t, x] = ode45 (@fourBugs_x, [0 100], [0 10 10 0]);
[t, y] = ode45 (@fourBugs_y, [0 100], [0 0 10 10]);
plot (x (:, 1), y (:, 1)); Espere; plot (x (:, 2), y (:, 2)); Espere; plot (x (:, 3), y (:, 3)); Espere; plot (x (:, 4), y (:, 4));
La figura generada correspondiente.
