Un clásico, cómo calcular la densidad de una concha esférica. En otras palabras, cómo entretener y cansar a su hijo cuando no le queda más que esos viejos cables de pesca o cómo hacer un globo de plomo .
Datos
- ¿Qué es el efecto Leidenfrost?
- Si los agujeros negros absorben la materia cercana, ¿por qué no actúan como vacío?
- Si el agua se hierve a la misma temperatura de 1 a 15 minutos y otra de 1 a 30 minutos, ¿qué temperatura disminuirá primero?
- ¿Por qué hay solo 1 de 2 cables 'en vivo' en el suministro de electricidad de CA de un hogar a pesar de que está 'alternando'?
- ¿Por qué la modulación es constante por lo general menos de 1?
Densidad del plomo [matemáticas] d_ {plomo} = 11340 [/ matemáticas] [matemáticas] kg / m ^ {3} [/ matemáticas]
Densidad de vacío [matemática] d_ {vacío} = 0 [/ matemática] [matemática] kg / m ^ {3} [/ matemática]
Densidad del aire [matemática] d_ {aire} = 1.225 [/ matemática] [matemática] kg / m ^ {3} [/ matemática]
Solución
En aras de la simplicidad, supongamos que el globo ser esférico con radio interior r y radio exterior R.
Dado que la densidad del vacío es menor que la densidad del aire, la pregunta es: ¿hay alguna forma de que pueda flotar un globo hecho de plomo “lleno de vacío”? Y mejor lo hago rápido, el niño está a punto de estallar en uno de sus ataques interminables sin solución.
Necesito verificar para qué condición la densidad del globo es menor o igual a la densidad del aire: [matemáticas] d_ {globo} \ leqslant {d_ {aire}} [/ matemáticas].
Por definición, la densidad de un objeto está dada por la masa dividida por su volumen, por lo que [math] d_ {balloon} = {{M_ {balloon}} \ over {V_ {balloon}}} [/ math]. Ahora, la masa del globo viene dada por la suma de la masa del caparazón y la masa del interior, que es nula ya que está “llena de vacío”.
Usando la definición de densidad, puedo calcular la masa del globo como [matemática] M_ {globo} = M_ {shell} = d_ {plomo} [/ matemática] [matemática] \ cdot {{4 \ over {3}} \ pi \ cdot (R ^ {3} -r ^ {3})} [/ math].
Entonces: [matemáticas] d_ {globo} = {d_ {plomo} \ cdot {{4 \ over {3}} \ pi \ cdot (R ^ {3} -r ^ {3})} \ over {V_ {globo }}} = [/ matemáticas] [matemáticas] {d_ {plomo} \ cdot {{4 \ over {3}} \ pi \ cdot (R ^ {3} -r ^ {3})} \ over {{4 \ over {3}} \ pi \ cdot {R ^ {3}}}} \ leqslant {d_ {air}} [/ math]
Elimina aquí y allá y obtengo eso ( vamos hombre, vamos, muévelo) [matemáticas] d_ {lead} \ cdot {\ bigg (1- \ bigg ({{r} \ over {R}} \ bigg) ^ 3 \ bigg)} \ leqslant {d_ {air}} [/ math]
[matemáticas] \ bigg ({{r} \ over {R}} \ bigg) ^ 3 \ geqslant {1- {d_ {air} \ over {d_ {lead}}}} \ approx {0.891975 ..} [/ matemáticas]
Y, por último, reelaborando, la condición que deben cumplir los diámetros para que el globo sea “más ligero que el aire” es que [matemáticas] r \ geqslant {R \ cdot \ sqrt [3] {0,891975 ..}} = R \ cdot {0.99996399 ..} [/ math]
Para un globo con un radio externo de 1 metro (2 metros de diámetro), el grosor ( t ) del globo de plomo debe ser [matemático] t = Rr = R \ cdot (1-0.99996399 ..) = 3.60095 \ cdot {10 ^ {-5}} \ aprox {36 \ mu {m}} [/ math].
¡Hecho! Flotará un globo de plomo lleno de vacío de dos metros con un espesor de 36 µm. SI.
Aquí tienes pequeño amigo, juguemos. Pero no lo lamas, el plomo es malo para ti, es venenoso.
Nota : Sí, lo sé, la máxima resistencia a la tracción del plomo es de solo 12-17 MPa. Incluso si pudiera, de alguna manera, ser capaz de crear un globo de plomo de 36 micras de espesor lleno de vacío, no resistiría la presión de la atmósfera. No seas tan cojo, deja que el niño se divierta .
Segunda nota : si insiste en ser cojo, agregaré un 10-12 por ciento de antimonio al plomo y obtendré una aleación con una resistencia de 57 MPa (http://www.ila-lead.org/UserFile…) y refuerce el globo con una estructura de fibra de carbono liviana debajo y aumente el tamaño del globo para compensar el peso agregado (solo aplique los mismos cálculos agregando una carcasa esférica compuesta de fibra de carbono debajo del cable).
Ahí tienes chico. Nunca dejes que los lamers estropeen la fiesta. 😛
