Alguien (¿Quién?) Notó muy inteligentemente que la conexión general de la métrica podría aislarse a dos símbolos de conexión bajo permutaciones de los índices. Esto nos acerca a definir la conexión en términos de la métrica, pero aún no estamos allí.
Los términos de conexión restantes son, [math] \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ \ rho [/ math] y [math] \ Gamma _ {\ nu \ mu} ^ \ rho [/ math].
El último paso, por supuesto, es restringir la conexión para que esté libre de torsión. [matemáticas] \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ \ rho = \ Gamma _ {(\ mu \ nu)} ^ \ rho [/ math].
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Por cierto, esto es aplicable a más que el conjunto de conexiones de Christoffel. La derivada covariante [math] \ nabla [/ math] no necesita ser métrica compatible.
¿Le respondió esto o está buscando alguna razón matemática más profunda, una condición de simetría, de por qué las permutaciones cíclicas de los índices en lugar de decir algunas otras permutaciones hacen que esto funcione?