Cómo derivar la energía cinética clásica de la relatividad general (ver detalles)

Use la expansión binomial en la expresión:

[matemáticas] E = \ gamma mc ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] E = (1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}) ^ – \ frac {1} {2} * mc ^ 2 [/ matemáticas]

La fórmula de expansión binomial es:

[matemáticas] (1 + x) ^ n = 1 + nx + \ frac {n (n-1)} {2!} x ^ 2 +… [/ matemáticas]

Aquí, n = -1/2. Por lo tanto,

[matemáticas] E = mc ^ 2 * (1 + \ frac {v ^ 2} {2c ^ 2} + \ frac {3v ^ 4} {8c ^ 4} +…) [/ matemáticas]

Sin embargo, al considerar la energía cinética clásica, uno debe tener v << c.

Por lo tanto, la expresión para gamma misma se convierte en:

[matemáticas] \ frac {1} {\ gamma} = \ sqrt {(1- \ frac {v ^ 2}} {c ^ 2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ gamma = 1 + \ frac {v ^ 2} {2c ^ 2} [/ matemáticas]

(Ignorando los términos de orden superior).

Por lo tanto,

[matemáticas] KE = mc ^ 2 * (\ gamma – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = mc ^ 2 * (1 + \ frac {v ^ 2} {2c ^ 2} – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {mv ^ 2} {2}. [/ matemáticas]

Usar expansión binomial:

[matemáticas] E = γ mc ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] E = \ frac {mc2} {\ sqrt {1− \ frac {v2} {c2}}} [/ matemáticas]

La fórmula de expansión binomial es:

[matemáticas] (1 + x) ^ n = 1 + n x + \ frac {n (n − 1)} {2!} x ^ 2 +… [/ matemáticas]

Aquí, n = -1/2. Por lo tanto,

[matemáticas] E = mc ^ 2 (1+ \ frac {v ^ 2} {2c ^ 2} + \ frac {3v ^ 4} {8c ^ 4} +…) [/ matemáticas]

Sin embargo, cuando consideramos la energía cinética clásica, tenemos v << c.

Por lo tanto, la expresión para gamma se convierte en

[matemáticas] γ = \ frac {1} {\ sqrt {1− \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + \ frac {v ^ 2} {2c ^ 2} [/ matemáticas]

(Ignorando los términos de orden superior).

Por lo tanto,

[matemáticas] KE = mc ^ 2 (γ − 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = mc ^ 2 (1+ \ frac {v2} {2c ^ 2} −1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {(mv ^ 2)} {2} [/ matemáticas]

Y esta expresión es independiente del número de dimensiones espaciales involucradas.

Puede derivar todo lo que necesita de algunos supuestos iniciales:

1. La transformación de Lorentz para cambiar entre marcos de referencia en Relatividad Especial (que a su vez se desprende de la velocidad del postulado de la luz de Einstein).
2. La energía de una masa [matemática] m [/ matemática] en reposo es [matemática] mc ^ 2 [/ matemática] (que también se deduce de los postulados de relatividad de Einstein, como él mismo dedujo).
3. Las leyes habituales de la energía y la conservación del impulso aún se mantienen.
4. La energía y el momento de la luz es proporcional a la frecuencia (específicamente, [matemáticas] E = hf = \ hbar k [/ matemáticas] y [matemáticas] p = h / \ lambda = \ hbar k = \ hbar \ omega / c [/ matemáticas]).

Considere un poco de masa [matemática] m [/ matemática] en reposo, que luego se descompone en dos fotones, uno a lo largo del eje [matemático] + x [/ matemático] y otro a lo largo del [matemático] -x [/ matemático] eje.

Por conservación de energía, [math] 2 \ hbar \ omega = mc ^ 2 [/ math], y por lo tanto, el impulso de cada fotón es [math] p = \ hbar \ omega / c = mc / 2 [/ math].

Ahora, considere esta misma disminución, pero en un nuevo marco de referencia, moviéndose a cierta velocidad [matemática] v [/ matemática] a lo largo del eje [matemático] x [/ matemático] con respecto a nuestro marco original.

Del efecto Doppler Relativista (que se deriva de la transformada de Lorentz), tenemos que los dos fotones emitidos tienen nuevas frecuencias en este marco de referencia:

[matemáticas] \ omega_1 = \ omega \ sqrt {\ frac {1+ \ beta} {1- \ beta}}, \ qquad \ omega_2 = \ omega \ sqrt {\ frac {1- \ beta} {1+ \ beta } }[/matemáticas]

donde [math] \ omega = mc ^ 2/2 \ hbar [/ math] era la frecuencia de ambos en el marco original y [math] \ beta \ equiv v / c [/ math].

Ahora podemos calcular el momento total de los dos fotones (recordando que tienen signos diferentes, por lo que tenemos que restar sus magnitudes), que luego deben ser iguales al momento de la masa original [matemáticas] m [/ matemáticas].

[matemáticas] \ begin {align *} p & = p_1 – p_2 \\ & = \ frac {mc} {2} \ left [\ sqrt {\ frac {1 + \ beta} {1- \ beta}} – \ sqrt {\ frac {1 – \ beta} {1 + \ beta}} \ right] \\ & = \ frac {mc} {2} \ left [\ frac {1 + \ beta} {\ sqrt {1 – \ beta ^ 2}} – \ frac {1 – \ beta} {\ sqrt {1 – \ beta ^ 2}} \ right] \\ & = \ frac {mc} {2} \ cdot 2 \ beta \ gamma \\ & = \ gamma mv \ end {align *} [/ math]

donde [matemáticas] \ gamma \ equiv (1 – \ beta ^ 2) ^ {- 1/2} [/ matemáticas].

De manera similar, podemos calcular la energía total de los fotones, que debe ser igual a la energía total de la masa original [matemática] m [/ matemática].

La energía de un fotón es solo el momento multiplicado por [math] c [/ math], por lo que podemos reutilizar nuestros valores anteriores. Sin embargo, dado que la energía es escalar, agregamos los valores para los fotones individuales en lugar de restar:

[matemáticas] \ begin {align *} E & = \ frac {mc ^ 2} {2} \ left [\ frac {1 + \ beta} {\ sqrt {1 – \ beta ^ 2}} + \ frac {1 – \ beta} {\ sqrt {1 – \ beta ^ 2}} \ right] \\ & = \ frac {mc ^ 2} {2} \ cdot 2 \ gamma \\ & = \ gamma mc ^ 2 \ end { alinear *} [/ matemáticas]

como se desee. (De los detalles de su pregunta, veo que ya sabe cómo obtener la energía cinética clásica desde ese punto, utilizando una expansión Taylor / aproximación binomial).

De hecho, aunque comencé suponiendo que la energía en reposo de la masa era [matemática] mc ^ 2 [/ matemática] (dado que es una ecuación familiar y facilitó las cosas), puede hacer un cálculo muy similar pero con una masa que emite dos fotones idénticos en direcciones opuestas (en lugar de descomponerse), y deriva no solo el famoso resultado [matemáticas] E = mc ^ 2 [/ matemáticas], sino todo lo que acabo de escribir también.

[matemáticas] E ^ 2 = (m_0c ^ 2) ^ 2 + (pc) ^ 2; p = \ gamma m_0v [/ math] es matemáticamente equivalente a [math] E = \ gamma m_0c ^ 2 [/ math]. Esto se puede mostrar a través del simple recurso de conectar [math] \ gamma m_0v [/ math] en lugar de [math] p [/ math] en [math] E ^ 2 = (m_0c ^ 2) ^ 2 + (pc) ^ 2 [/ matemáticas] y algo de álgebra básica:

[matemática] E ^ 2 = (m_0c ^ 2) ^ 2 + (\ gamma m_0vc) ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] E ^ 2 = (m_0c) ^ 2 (c ^ 2 + \ gamma ^ 2v ^ 2) [/ matemáticas]

[matemática] E ^ 2 = (m_0c) ^ 2 \ left (c ^ 2 + \ dfrac {v ^ 2} {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} \ right) [/ math]

[matemáticas] E ^ 2 = (m_0c) ^ 2 \ left (\ dfrac {c ^ 2 (1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}) + v ^ 2} {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} \ right) [/ math]

[matemáticas] E ^ 2 = (m_0c) ^ 2 \ left (\ dfrac {c ^ 2-v ^ 2 + v ^ 2} {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} \ right) [ /matemáticas]

[matemáticas] E ^ 2 = (m_0c) ^ 2 (\ gamma ^ 2c ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] E ^ 2 = (m_0c) ^ 2 (\ gamma c) ^ 2 [/ matemáticas]

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados y reorganizando los términos, terminamos con:

[matemáticas] E = \ gamma m_0c ^ 2 [/ matemáticas]

Una vez que tenemos eso, derivar la energía cinética newtoniana es principalmente una cuestión de aplicar la serie Taylor a [math] \ gamma [/ math] y aplicar el límite como [math] \ frac {v} {c} \ a 0 [/ math ] a la serie infinita resultante. Todos los términos después del segundo van a cero, dándole [matemática] E = m_0c ^ 2 + ½m_0v ^ 2 [/ matemática]. Si postulamos que [matemática] E = E_0 + E_k [/ matemática] donde la energía intrínseca [matemática] E_0 = m_0c ^ 2 [/ matemática], entonces la energía cinética [matemática] E_k = ½m_0v ^ 2 [/ matemática]. Voila!

Si bien hay cierta belleza en [matemática] E ^ 2 = (m_0c ^ 2) ^ 2 + (pc) ^ 2 [/ matemática] debido a su conexión con cuatro vectores, [matemática] E = \ gamma m_0c ^ 2 [ / math] tiene su propia belleza y funcionalidad.

Tu segunda fórmula es incorrecta. Ha establecido [math] p = mv [/ math], que es la aproximación no relativista. Es mejor trabajar hacia atrás desde [math] E = \ gamma mc ^ 2 [/ math] con su fórmula (correcta) para [math] \ gamma [/ math]. Tiene razón al hacer la expansión para encontrar una aproximación no relativista para [matemáticas] E_k \ equiv E – mc ^ 2 [/ matemáticas]. ¡Que te diviertas!

intente aplicar la expansión binomial en la expresión enraizada después de mc ^ 2, ya ve en un marco no relativista, la velocidad del cuerpo. v << c, por lo tanto v ^ 2 / c ^ 2 es un número muy pequeño, por lo tanto, por teorema binomial si una expresión algebraica es de la forma (1 + x) ^ n, donde n es un número o fracción negativa y x es muy pequeño, entonces en la expansión podemos descuidar los términos de mayor potencia y escribirlo ~ 1 + nx, en este caso resultaría ser 1 + v ^ 2 / 2c ^ 2, si multiplicamos mc ^ 2 obtendríamos mc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2, ahora en un marco no relativista, mc ^ 2 es en realidad el equivalente energético de la masa en reposo, y entendemos esto aunque en física idealizamos conceptualizar cosas absolutas, pero en realidad es relativo, entonces ¿qué Usted calcula aquí el cambio relativo de energía durante el movimiento de la partícula, que en este caso el cuerpo estaba inicialmente en reposo. Entonces, la energía inicial fue Ei = mc ^ 2 y Ef = mc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2, por lo que la diferencia se destaca como E = 1/2 mv ^ 2, que es la expresión de la energía cinética. Tendrás dudas de que haya invocado un término relativo para eliminar el equivalente de masa en reposo, pero es el caso real, el teorema de la energía del trabajo ofrecería una mejor explicación que establece que el trabajo realizado por un cuerpo va acompañado de un cambio en energía cinética, que aquí nos dice una definición relativa basada en términos, ahora en un marco de trabajo no relativista realizado no cambia la masa en reposo de un cuerpo ya que ninguna energía se convierte en masa o viceversa, por lo que la diferencia nos da el cambio en energía requerida y el trabajo realizado cambia la energía cinética sola.

No estoy totalmente seguro de lo que estás preguntando. Creo que puede suponer erróneamente que [math] p = mv [/ math] cuando debería ser [math] p = \ gamma mv [/ math].

Con esto tienes

[matemática] E ^ 2 = (mc ^ 2) ^ 2 + (\ gamma mvc) ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] = m ^ 2c ^ 4 + \ gamma ^ 2 m ^ 2v ^ 2c ^ 2 [/ matemáticas]

[matemática] E = mc ^ 2 \ sqrt {1+ \ gamma \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} [/ matemática]

Esta no es la expresión más útil, pero puede ser lo que estás buscando.

La p también tiene una gamma. Entonces tu segunda línea es incorrecta. En cambio, obtienes tu tercera línea, que es correcta.