Sí, el tensor métrico describe la gravitación en GR de la misma manera que el potencial eléctrico describe el campo eléctrico en EM (clásica), por ejemplo.
La integridad no implica unicidad. Un objeto X puede describir completamente el objeto Y, pero esa descripción no necesita ser única.
La métrica describe la gravitación ya que dada cualquier métrica lorentziana [matemática] \ mathbf {g} [/ matemática] en un espacio-tiempo [matemática] \ matemática {M} [/ matemática], [matemática] \ mathbf {g} [/ matemática] determina completamente el campo gravitacional en el espacio-tiempo [math] \ mathcal {M} [/ math].
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Para hacer una analogía, el campo EM en sí es una forma de 2 [math] \ mathbf {F} \ in \ wedge ^ 2 \ mathcal {M} [/ math]. Pero puede describirse mediante una forma 1 [math] \ mathbf {A} \ in \ wedge ^ 1 \ mathcal {M} [/ math] llamada potencial EM de manera que [math] \ mathbf {F} = d \ mathbf {A} [/ math]. Sin embargo, dado que para cualquier función real [diferenciable] [matemática] \ lambda [/ matemática] tenemos [matemática] \ mathbf {F} = d (\ mathbf {A} + d \ lambda) [/ matemática], esa descripción proporcionado por el potencial EM no es único.
En el caso de la gravedad, Einstein una vez preguntó: “¿Fue ist das, die gravitation?” Bueno, según la propia teoría de Einstein, la respuesta es que la gravitación es la curvatura del espacio-tiempo , y de manera diferente a lo que dijo TR Livesey, la gravitación no es “un campo de tensores métricos”. Esta proposición no tiene sentido. ¡No existe un campo de tensores métricos en geometría diferencial! ¡El tensor métrico es en sí mismo un campo! Probablemente quiso decir que la gravitación es una clase de equivalencia de tensores métricos. En particular, la clase de equivalencia de todos los tensores métricos que dan lugar a la misma curvatura.
Pero la última proposición conduce a otra pregunta, a saber, la cuestión de la unicidad. Si la gravitación es curvatura, y un tensor métrico puede especificar completamente la curvatura, ¿es esta especificación única? ¡En GR, la respuesta es sí también! Puede tener representaciones distintivas de un tensor métrico en diferentes sistemas de coordenadas, pero la métrica misma, al ser un campo tensor, es totalmente independiente del sistema de coordenadas utilizado. Y las ecuaciones de campo de Einstein pueden determinar completamente la métrica para una distribución dada de energía-momento.
PD: en geometría diferencial, la curvatura es una propiedad de una conexión, no del tensor métrico. Incluso puede tener un tensor de curvatura sin decir nada sobre una métrica. Pero hay un tipo especial de conexión llamada conexión Levi-Civita [math] \ nabla [/ math] que, cuando se le da un tensor métrico [math] \ mathbf {g} [/ math], se especifica completamente al requerir que ( i) [math] \ nabla \ mathbf {g} = 0 [/ math] (decimos que [math] \ nabla [/ math] es compatible con la métrica) y (ii) [math] \ nabla [/ math] es sin torsión, es decir, el tensor de torsión de [math] \ nabla [/ math] desaparece. Entonces, dado que [math] \ mathbf {g} [/ math] describe [math] \ nabla [/ math] completamente y [math] \ nabla [/ math], a su vez, describe el tensor de curvatura en el que se encuentra el campo gravitacional manifiesto, decimos que la métrica [math] \ mathbf {g} [/ math] realmente describe el campo gravitacional. Lo contrario, a saber, que la curvatura expresada en la ecuación de campo de Einstein, especifica completamente el tensor métrico, también es cierto.
La métrica en sí misma es una criatura libre de coordenadas, y cuando estás resolviendo ecuaciones de Einstein en la práctica, debes adoptar algún indicador de coordenadas. Pero una vez que haya terminado con la solución, la métrica que obtuvo es independiente del indicador que elija. Como ejemplo trivial, el tensor métrico [math] \ mathbf {h} [/ math] del espacio-tiempo Minkowski [math] \ mathbb {R} ^ {1,3} [/ math] puede representarse en coordenadas cartesianas [math ] x ^ {\ mu} [/ math], para el cual
[math] \ mathbf {h} = – dx ^ {0} \ otimes dx ^ {0} + dx ^ {1} \ otimes dx ^ {1} + (…) + dx ^ {3} \ otimes dx ^ { 3} [/ matemáticas],
o en coordenadas polares, para lo cual
[matemáticas] \ mathbf {h} = – dx ^ {0} \ otimes dx ^ {0} + dr \ otimes dr + (…) + r ^ 2 (d \ theta \ otimes d \ theta + sin ^ 2 \ theta d \ phi \ otimes d \ phi [/ math].
Estas expresiones se ven diferentes, pero el tensor métrico es el mismo. Es solo que está utilizando diferentes sistemas de coordenadas.
