En GR, ¿los cuerpos que caen de diferentes masas se aceleran a la misma velocidad, a pesar de la variación resultante también en la masa del cuerpo que atrae?

En la relatividad general, las partículas siguen caminos llamados geodésicos. Este es el camino más corto entre dos puntos en un espacio curvo. La ecuación geodésica viene dada por:

[matemáticas] \ frac {d ^ 2x ^ {\ mu}} {d \ lambda ^ 2} + \ Gamma ^ {\ mu} _ {\ alpha \ beta} \ frac {dx ^ {\ alpha}} {d \ lambda} \ frac {dx ^ {\ beta}} {d \ lambda} = 0 [/ math]

Cada espacio [matemáticas] S [/ matemáticas] está codificado por lo que se llama un tensor métrico [1] [matemáticas] g [/ matemáticas], que es una matriz que describe cómo se miden las longitudes y los ángulos en [matemáticas] S [/ matemáticas]. La longitud de un vector viene dada por: [matemáticas] | \ vec {v} | ^ 2 = \ sum \ limits_ {i, j = 1} ^ 3 g_ {ij} v ^ iv ^ j [/ matemáticas]. Aquí, [math] g_ {ij} [/ math] es el componente [math] ij [/ math] de la métrica y especifica una columna y una fila. Por ejemplo, en un espacio euclidiano, la métrica estará dada por la matriz de identidad. Los símbolos de Christoffel [matemáticas] \ Gamma ^ {\ mu} _ {\ alpha \ beta} [/ matemáticas] son ​​cantidades puramente geométricas que dependen de las derivadas de la métrica.

Tenemos ecuaciones diferenciales parciales para los componentes de la métrica llamados ecuaciones de campo de Einstein. En general, el tensor métrico (después de resolver los EFE) no dependerá de la energía de masa de la partícula de prueba que se mueve sobre la geodésica en el espacio-tiempo curvo, y por lo tanto, tampoco lo hará la ecuación geodésica.

Entonces no, los caminos seguidos por las partículas de prueba de diferente masa no dependerán de la masa de la partícula. Se moverán a lo largo de la misma geodésica.

Notas al pie

[1] Tensor métrico (relatividad general)

Los cuerpos caen a la misma velocidad solo en situaciones como en la Tierra, donde se considera que la Tierra no se mueve y los cuerpos que caen son pequeños en comparación con la Tierra. En situaciones donde los cuerpos están más cerca del tamaño del otro, la velocidad de aceleración será diferente según el tamaño. Dos enormes rocas de tamaño similar se tirarán entre sí por igual y acelerarán una hacia la otra por igual, una roca más pequeña en la misma situación acelerará más rápido hacia la roca más grande. Como una manzana que cae sobre la tierra.

No diría que las diferentes masas caen a la misma velocidad en los campos gravitacionales ordinarios a menos que los campos sean uniformes o las masas estén distribuidas de manera idéntica.

El experimento de Galileo, Pisa se basa, creo, en las pequeñas distancias involucradas. Cuando se considera un cuerpo ‘extendido’ como la parte más cercana, el otro objeto se sentirá más atraído hacia él.

También se debe considerar la gravedad propia del objeto. Gran parte de esto depende de los detalles de la geometría involucrada.