¿La temperatura de la materia aumenta uniformemente a medida que se le aplica un calor constante?

En general, no, y mucho no cuando hay una transición de fase.

Un libro de texto de la escuela secundaria generalmente dará la capacidad de calor específica para un material como una constante (es decir, 4.18 J / g / K para agua), pero como un hecho general, la capacidad de calor específica depende de la temperatura. Los valores constantes generalmente se proporcionan para la temperatura ambiente, lo que los hace útiles para muchos fines prácticos, pero si está trabajando a temperaturas extremas, deberá usar una fórmula dependiente de la temperatura para calcular la capacidad calorífica específica.

A menudo, esto sucede cuando hay una “brecha” en la temperatura de un sistema. A veces simplemente no puedes seguir aplicando calor uniformemente a un sistema. Por ejemplo, si aplicas suficiente calor al agua, eventualmente alcanzará su punto de ebullición y no podrás seguir elevando la temperatura sin convertirla en un gas. Esto le da un punto en la transición de fase donde la capacidad de calor es realmente muy alta porque el calor que agrega entra a hervir el líquido (haciendo que los átomos de vapor se “despeguen” del agua) en lugar de elevar la temperatura; luego, después de hervirlo, el vapor se comporta de manera muy diferente al agua y tendrá una capacidad calorífica diferente.

Otros tipos de brechas pueden ser causadas por el comportamiento a nivel atómico. Estos son un poco más extremos. Un ejemplo sería agregar energía a un solo átomo. El átomo tiene niveles de energía, por lo que debe mover un electrón hacia arriba un nivel de energía completo o no hacerlo. Por lo tanto, si intenta verter la mitad del calor de un nivel de energía, ¡no pasa nada! Solo obtienes una capacidad de calor de buen comportamiento una vez que tienes suficiente energía y suficientes átomos que puedes ignorar estos pequeños pedazos de energía que no encajan del todo, razón por la cual la capacidad de calor constante funciona bien a temperatura ambiente.

No necesita.
El calor específico no es estrictamente constante:
1 Cuando el agua alcanza el punto de ebullición, el calor aplicado se usa como calor latente para la transición de fase sin aumentar la temperatura.
2. El calor específico puede depender de la temperatura.
Agua – Calor específico a altas temperaturas
Obtuve esta referencia de la respuesta de Yahoo:
¿La capacidad calorífica específica de una sustancia (por ejemplo, agua) depende de la temperatura?

Sí (excepto cuando tiene lugar la transformación de fase).

Solo para gases puedo dar la lógica: según la teoría cinética-molecular, la energía cinética promedio de las moléculas de las moléculas es proporcional a la temperatura absoluta. El calor aplicado desde la fuente externa aumenta la energía cinética de las moléculas. Ahora, dado que la temperatura absoluta y KE están entrelazadas en una relación lineal, los deltas solo dependerán unos de otros, y no dependerán del estado actual de ninguna de las variables (KE o T iniciales).
Alguien puede explicarlo también para otros estados de la materia.

El calor constante da lugar a cambios constantes en la temperatura. Incluso si comienza a 0ºC o a 10ºC. 1 caloría de calor si se aplica sobre 1 kg de agua aumentará su temperatura en 1ºC

Mientras que, si considera un vaso de precipitados con calor aplicado en su fondo, entonces la porción de agua justo en el fondo del vaso de precipitados se calienta primero y las corrientes de convección se mueven por encima, transfiriendo el calor a las porciones superiores. Así, esencialmente, la parte superior es más fría que la inferior.