Sí, los objetos celestes tienen energía potencial gravitacional. Es una cantidad negativa: es la cantidad de energía que necesitaría invertir si intentara dispersar ese objeto en el espacio, superando su gravedad propia.
No, usted no mide esta energía usando la fórmula ingenua [matemáticas] U = mgh [/ matemáticas]. Esa fórmula solo es aplicable en un campo gravitacional homogéneo. Cuando haces un experimento en la superficie de la Tierra, el campo gravitacional es aproximadamente homogéneo porque las diferencias ordinarias en altura se ven reducidas por el radio de la Tierra (aproximadamente 6.370 kilómetros). Pero cuando te mudas al espacio, esta vista simple ya no se aplica.
Para una distribución arbitraria de la materia caracterizada por su densidad de masa [matemática] \ rho [/ matemática] (que es una función de coordenadas), el campo gravitacional [matemática] \ phi [/ matemática] viene dado por la ecuación de Poisson para la gravedad: [matemática ] \ nabla ^ 2 \ phi = 4 \ pi G \ rho [/ math], donde el símbolo [math] \ nabla [/ math] representa el cálculo de vector de forma de operador de gradiente, y [math] G [/ math] es La constante de Newton. Si se da [math] \ rho [/ math], se puede calcular [math] \ phi [/ math], utilizando la condición de límite de que desaparece en el infinito. Una vez que sepa \ phi, puede calcular la energía potencial gravitacional utilizando la integral de volumen [math] \ frac {1} {2} \ int \ rho \ phi ~ dV [/ math].
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En el caso muy simple, cuando tratamos con una pequeña cantidad de objetos puntuales, las cosas se vuelven más simples. Para un objeto de masa [matemática] M [/ matemática], su campo de potencial gravitacional a una distancia [matemática] R [/ matemática] viene dado por [matemática] \ phi = -GM / R [/ matemática]. (Esta es una solución de caso especial de la ecuación de Poisson anterior.) Si otra masa [matemática] m [/ matemática] está presente a esta distancia [matemática] R [/ matemática], su energía potencial gravitacional entre los dos objetos será [matemática ] U = -GMm / R [/ matemáticas]. O, más generalmente, si tiene objetos [matemática] n [/ matemática] con masas [matemática] m_1..m_n [/ matemática], la energía potencial gravitacional de este sistema se puede calcular como [matemática] U = – \ sum_ { i = 1} ^ {n-1} \ sum_ {j = i + 1} ^ n Gm_im_j / R_ {ij} [/ math], donde [math] R_ {ij} [/ math] es la distancia entre [ math] i [/ math] -th y el objeto [math] j [/ math] -th. Esta fórmula es un caso especial de la integral de volumen que mencioné anteriormente. Otro caso especial, la energía potencial gravitacional de una esfera homogénea de masa [matemática] M [/ matemática] y radio [matemática] R [/ matemática], viene dada por [matemática] U = -3GM ^ 2 / 5R [/ matemática ]
(Por otro lado, estas fórmulas son válidas cuando las densidades de masa y las velocidades son razonablemente pequeñas. De lo contrario, la teoría de la relatividad no puede ser ignorada y el concepto de energía de campo gravitacional se convierte en un concepto mucho más complicado y aún algo controvertido).
