El costo de la energía es cero. En la desalinización, tomas los iones que estaban en un cuerpo de agua y los mueves a un cuerpo de agua diferente, pero la energía es la misma sin importar dónde estén los iones. La desalinización consiste en pagar el costo de la entropía, no el costo de la energía.
Imaginamos que el proceso de desalinización es parcialmente completo. A la izquierda tenemos el océano con una concentración constante [matemáticas] c_0 [/ matemáticas] de iones. A la derecha tenemos agua que estamos tratando de desalinizar, que actualmente tiene concentración [matemática] c [/ matemática] de iones. ¿Cuánto cambia la entropía si movemos un ion de derecha a izquierda? 
Es posible que conozca la fórmula para la entropía, [matemática] S = \ ln \ Omega [/ matemática] donde [matemática] \ Omega [/ matemática] es el número de estados posibles del sistema. Necesitamos una forma de estimar [matemáticas] \ Omega [/ matemáticas].
Imagina cada ion viviendo en su propia casita, con todas las casas atascadas una al lado de la otra para ocupar todo el espacio en el agua. Cuando la concentración de iones es baja, las casas son grandes y cuando la concentración es alta, las casas son pequeñas. El volumen de cada casa es [matemática] V = 1 / c [/ matemática].
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El ion puede deambular por cualquier lugar dentro de su casa. Eso significa que si hace que la casa sea el doble de grande, hay el doble de estados posibles para la molécula. Los estados son proporcionales al volumen. En una ecuación, [math] \ Omega = \ alpha V = \ alpha / c [/ math] donde [math] \ alpha [/ math] es solo una constante de proporcionalidad que no importará porque se cancela.
Por lo tanto, la entropía de estar a la derecha es [matemáticas] S_r = \ ln (\ alpha / c) [/ matemáticas] y la entropía de estar a la izquierda es [matemáticas] S_l = \ ln (\ alpha / c_0) [/ matemáticas]. El cambio en la entropía [matemática] dS [/ matemática] cuando una molécula se mueve de derecha a izquierda es
[math] \ mathrm {d} S = (S_l – S_r) \ mathrm {d} N [/ math]
[matemáticas] = (\ ln (\ alpha / c_0) – \ ln (\ alpha / c)) \ mathrm {d} N = \ ln (c / c_0) \ mathrm {d} N [/ math]
donde [matemáticas] N [/ matemáticas] es la cantidad de iones en el agua que estamos desalinizando.
Cuando las concentraciones son iguales, estamos en equilibrio y esta expresión llega a cero. Cuando [math] c [/ math] es más pequeño que [math] c_0 [/ math] la expresión es negativa, lo que significa que estamos disminuyendo la entropía cuando desalinizamos. Para desalinizar por completo, tenemos que bajar [math] c [/ math] de [math] c_0 [/ math] a cero, por lo que la disminución promedio de entropía por ion es
[matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} \ bar {S}} {\ mathrm {d} N} = \ frac {1} {c_0} \ int_0 ^ {c_0} \ ln (c / c_0) \ mathrm { d} c = -1 [/ matemáticas]
Si queremos desalinizar un volumen de agua [matemática] V [/ matemática], entonces tiene iones [matemática] cV [/ matemática], entonces el costo total de entropía es
[matemáticas] \ Delta S = -cV [/ matemáticas]
La entropía total del universo no puede disminuir, por lo que debe aumentar la entropía de otra cosa al menos esto para completar la desalinización.
Puedes pagar este costo de entropía como quieras. Por ejemplo, teóricamente podría configurar un dispositivo que tome agua salada y discos duros de 1 TB llenos de ceros. Luego escribe sobre los discos duros con bits aleatorios, aumentando su entropía en [math] 10 ^ {12} [/ math] bytes, o [math] 2.1 * 10 ^ {12} [/ math] en nuestras unidades (base [ matemáticas] e [/ matemáticas]). El agua de mar tiene aproximadamente [matemáticas] 7 * 10 ^ {23} [/ matemáticas] iones por litro, por lo que cada disco duro produciría un máximo de aproximadamente [matemáticas] 8 * 10 ^ {- 11} [/ matemáticas] litros. Todos los servidores de Google procesados de esta manera solo producirían aproximadamente un centímetro cúbico de agua desalinizada.
De manera más realista, supongamos que trabajamos en el sistema mientras lo mantenemos a una temperatura constante [matemática] T [/ matemática]. Luego, el sistema emite una cantidad igual de calor, y el aumento de entropía es
[matemáticas] \ Delta S = \ frac {Q} {T} = \ frac {W} {T} [/ matemáticas]
(La segunda igualdad dice que todo el trabajo que hicimos se convierte en calor.) Luego, igualando nuestras dos expresiones de entropía, el trabajo mínimo es
[matemáticas] W_ {min} = T c V [/ matemáticas]
a temperatura ambiente, esto es aproximadamente 0.8 kilovatios hora por metro cúbico, o 0.7 kCal / litro. Si montaste en una bicicleta estática conectada a una máquina de desalinización ideal, podría hacerte un litro de agua en aproximadamente un minuto de conducción relajada.
notas:
Esta respuesta está escrita en unidades donde la constante de Boltzmann es una. En todo momento, he usado la aproximación del “gas ideal” para solutos, es decir, los solutos no interactúan entre sí. Todas las expresiones y declaraciones son aproximaciones; El cambio de energía en los iones en movimiento no es precisamente cero, sino mucho más pequeño que el cambio de energía libre, etc.
