En general, no tienen que serlo. Si medimos una cantidad real, como la posición o el momento, entonces el operador correspondiente tendrá valores propios reales, lo que implica que es hermitiano (si es diagonalizable por una transformación unitaria). Pero si medimos una cantidad que no tiene que ser real, como [math] x_1 + i x_2 [/ math], entonces el operador correspondiente no es hermitiano.
La razón por la que a menudo hablamos del caso real o hermitiano es porque incluye la clase de observables que se estudian más de cerca en física, es decir, las cargas conservadas (incluida la energía, el momento, el momento angular, la carga eléctrica y otras). Las cargas conservadas están asociadas con las simetrías continuas de una teoría, que deben ser representadas por operadores unitarios, ya que tienen que preservar los productos internos. Un operador de carga es la versión infinitesimal de este operador unitario, que siempre es hermitiano.
Por ejemplo, una teoría que es invariablemente traslacional viene con un operador [math] U (x) [/ math] que actúa en el espacio de Hilbert y genera traducciones por [math] x [/ math]. [math] U (x) [/ math] debe ser unitario ya que lleva estados normalizados a estados normalizados. Usando [matemática] U (a) U (b) = U (a + b) [/ matemática], uno puede mostrar [matemática] U (x) = e ^ {i P x} [/ matemática], donde [matemática ] P [/ math] es un operador hermitiano. Este operador se interpreta como impulso, que es el cargo conservado asociado con la traducción.
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