¿Cómo funciona la fórmula [matemáticas] H ^ 2 = 8 \ pi G \ rho / 3 [/ matemáticas], siendo [matemáticas] H [/ matemáticas] la tasa de expansión, [matemáticas] G [/ matemáticas] siendo la constante gravitacional de Newton , y [math] \ rho [/ math] siendo la densidad de energía, muestra que en un punto en el pasado (el big bang), ¿la densidad del universo era infinita?

La pregunta se basa en H como la tasa de expansión. H = c / R = 1 / seg. La tasa de expansión actual (para un parámetro de desaceleración q = -1) es (c ^ 2) / R que tiene unidades de m / seg ^ 2. ¿Es esto lo que se quiere decir? A primera vista, la densidad de Friedmann sería proporcional a 1 / R ^ 2 si G es constante. Por lo tanto, cuando R – → 0, entonces densidad p —-> infinito.

Sin embargo, no se puede decir que G sea constante en tales condiciones. Si la tasa actual de expansión (c ^ 2) / R se extrapola a un momento en el que R —-> 0, la expansión será infinita por una duración infinitamente corta. Esto conduce a proporciones indefinidas … pero esta condición no necesita ser considerada como una teoría que destruye la singularidad del nacimiento. En realidad, se corrige automáticamente a sí mismo: el instante de la existencia espacial es también el instante de la densidad finita.

No es asi.

La ecuacion,

[matemáticas] H ^ 2 = \ dfrac {8 \ pi G} {3} \ rho \ tag * {} [/ matemáticas]

es la primera de las denominadas ecuaciones de Friedmann, que relaciona la tasa de expansión con la densidad de corriente del universo (en esta forma, un universo espacialmente plano sin constante cosmológica) pero no describe cómo [matemáticas] H [/ matemáticas] cambia con el tiempo. Sin embargo, esta ecuación está acompañada por la segunda ecuación de Friedmann, que dice

[matemáticas] \ dot {H} = – 4 \ pi G (\ rho + p), \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

donde el overdot es la diferenciación con respecto al tiempo, [math] \ rho [/ math] es la densidad de energía y [math] p [/ math] es la presión. Esta es ahora una ecuación diferencial adecuada para [matemáticas] H [/ matemáticas] en función del tiempo, pero hay otras dos funciones desconocidas ([matemáticas] \ rho [/ matemáticas] y [matemáticas] p [/ matemáticas]) así que Se necesita una tercera ecuación para determinar las tres incógnitas. Esto generalmente se da en forma de una ecuación de estado que conecta [matemática] \ rho [/ matemática] y [matemática] p [/ matemática]: [matemática] p / \ rho = w [/ matemática].

Si la relación de presión a densidad, [matemática] w [/ matemática], es diferente a [matemática] -1 [/ matemática], siempre que permanezca constante, las ecuaciones de Friedmann se resuelven mediante

[matemáticas] H = \ dfrac {2} {3 (1 + w) (t-t_0)}, \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

donde [math] t [/ math] es el tiempo y [math] t_0 [/ math] marca el “comienzo del tiempo”. Cuando [math] t = t_0 [/ math], [math] H [/ math] y, en consecuencia, [math] \ rho [/ math], divergen.