Al buscar brevemente en línea, encontré dos cosas interesantes que la gente ha descubierto sobre el segundo foco de una órbita elíptica.
La primera es que si tienes un planeta que está bloqueado por mareas a su estrella, puedes poner un palo en el suelo que apunta al segundo foco, y ese palo siempre seguirá apuntando al segundo foco.
Ver http: //physics.stackexchange.com…
Otra es que si tienes un montón de partículas de prueba que arrojas en diferentes direcciones desde un punto dado cerca de un cuerpo masivo, el segundo foco de sus órbitas formará un círculo alrededor del punto desde el que las arrojaste. (Debe darles a todos la misma velocidad y lanzarlos en un plano que incluya el cuerpo masivo).
Ver http://scitation.aip.org/getpdf/…
- ¿Qué dos objetos y fuerzas están empujando uno contra el otro para enviar un cohete al cielo?
- ¿Cuál es la fórmula utilizada para calcular la presión del aire a cierta altitud?
- ¿Cómo puedo detectar si mis datos son ergódicos y estacionarios?
- ¿Qué tan rápido necesitaría girar una esfera de Dyson para vivir adentro y por qué querrías hacerlo?
- Se lanza una pelota de una persona a otra, suponiendo que la velocidad de la pelota no cambie ¿quién ejerce un impulso mayor y quién ejerce una fuerza mayor?
Sin lugar a dudas, con un poco de imaginación y grasa de codo podríamos descubrir otras afirmaciones matemáticas con respecto al segundo enfoque (de hecho, el enlace a stackexchange tiene uno).
Sin embargo, creo que su pregunta es sobre la intuición detrás de una órbita elíptica. Hay una razón simple por la cual las órbitas circulares centradas en el sol no son suficientes: no tienen suficientes grados de libertad.
Solo necesita un número para especificar una órbita circular: la distancia desde el Sol. Mientras tanto, puedo lanzar una partícula de prueba en cualquier dirección con cualquier velocidad, desde cualquier distancia. No hay suficientes círculos disponibles para dar cuenta de las órbitas. Esto no es sorprendente, seguramente no esperamos que si arrojo una partícula en cualquier dirección, ¡termine yendo en círculo! En general, ni siquiera se lanzará perpendicularmente a su desplazamiento del sol, lo que significa que ni siquiera se puede ajustar instantáneamente a un círculo.
Supongo que podríamos tratar de solucionar este problema permitiendo órbitas circulares que estén descentradas. Resulta que tales órbitas no resuelven las ecuaciones de movimiento, y además serían igualmente misteriosas.
Lo sorprendente no es que las órbitas no sean círculos, sino que son formas tan simples. Las secciones cónicas son básicamente las formas “siguientes más complicadas” disponibles para estudiar después de círculos y líneas, siendo la familia de todas las cuadráticas, y se estudiaron incluso en la antigüedad, mucho antes de que supiéramos algo sobre el problema de Kepler.
Como dijo Todd, las órbitas de sección cónica son una característica especial de la ley del cuadrado inverso (aunque también tendríamos elipses si la fuerza fuera proporcional a la distancia, no tendrían el sol enfocado). Para la mayoría de las leyes de fuerza, las órbitas ni siquiera se cierran sobre sí mismas. La ley del cuadrado inverso es especial.
Hay muchas pruebas de esto. Probablemente, el más directo es que el movimiento bajo la ley del cuadrado inverso conserva el vector LRL, y el más elemental es probablemente el método de hodógrafo ilustrado, por ejemplo, por la prueba de Feynman. Pero creo que John Baez tenía razón cuando escribió:
También considero misterioso que un objeto que se mueve en una ley de fuerza cuadrada inversa traza una sección cónica. Hay muchas formas de probarlo, por supuesto. Newton lo hizo usando geometría euclidiana. Mis problemas de tarea anteriores dan otras dos formas. El que usa el vector Runge-Lenz es bonito … pero todavía estoy buscando la manera realmente hermosa, donde sales de la habitación diciendo: “Ley de fuerza cuadrada inversa … secciones cónicas … ¡por supuesto! ¡Ahora la conexión es obvia!”
http://math.ucr.edu/home/baez/gr…
