¿Por qué requerimos diferentes espacios matemáticos como Hilbert, de Sitter, anti-de Sitter, Minkowski, etc. para describir fenómenos físicos?

Su segunda pregunta es la respuesta.

Además de nuestra experiencia cotidiana en la que vivimos predominantemente en un espacio tridimensional, parece que esta imagen simple no es lo suficientemente buena como para describir todo, por lo que debe ser “parcheada” utilizando diferentes modelos físicos, por ejemplo, en mecánica cuántica donde el espacio-tiempo se vuelve “borroso” y se utilizan funciones de onda cuánticas “onduladas”. Estas funciones de onda introducen un tipo completamente nuevo de comportamiento físico, pero en su mayoría se promedian en nuestro conocido entorno tridimensional.

En mi opinión, el Universo es esencialmente discreto y lo que generalmente vemos es una linealización / interpolación matemática macroscópica, una proyección promediada de muchas, muchas partículas. Nuestras teorías se basan principalmente en estas coordenadas matemáticas abstractas para que coincidan con nuestra experiencia macroscópica y eso está bien y es extremadamente útil: al final tenemos que localizar partículas, eventos, lo que sea en nuestro mundo macroscópico. Sin embargo, poner [math] t [/ math] como una coordenada temporal lineal no significa que el tiempo “fluya” linealmente en cada punto del espacio, tener la coordenada lineal [math] x [/ math] no significa ese espacio realmente existe en algún lugar y espera a que pase una partícula / campo. (Observación: observe que definimos el espacio y el tiempo usando las abstracciones matemáticas mencionadas anteriormente, pero no es lo que realmente sucede en el fondo).

¿Por qué mencionar esto? ¡Para señalar que no tenemos idea de qué espacio-tiempo y dimensiones usamos en nuestras ecuaciones! Tomará un tiempo hasta que nosotros o alguna IA lo descubramos. Echa un vistazo a mis otras respuestas sobre el mismo tema.

Una de estas cosas no es como las demás; Una de estas cosas no es lo mismo.

Los espacios De Sitter, anti-de Sitter y Minkowski son solo nombres elegantes para diferentes soluciones de las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein, para un universo vacío de masa y varios supuestos sobre el valor de la constante cosmológica. Excepto como una aproximación, ninguno de ellos es relevante para el universo real, que contiene bastante masa. No sé si hay un nombre conciso para el espacio (tiempo) en el que realmente vivimos.

El espacio de Hilbert es un concepto de la mecánica cuántica. Es mucho más abstracto y representa los posibles estados de cosas que existen en el espacio, no el espacio en sí.

Porque las ecuaciones de campo de Einstein muestran que el espacio es curvo. Y realmente no hay una manera simple de describirlo, por lo que usamos todo tipo de espacios diferentes para comprenderlo mejor. Ninguno de estos otros espacios nos da una imagen completa, pero ayudan a dilucidar lo que está sucediendo desde diferentes perspectivas.

Y no, el espacio euclidiano no es lo suficientemente bueno. Y eso se debe a que las líneas rectas ya no son rectas: son líneas rectas que viajan a través de un múltiple curvo. Me gusta describir este espacio curvo como el mapa de un meteorólogo, que muestra cómo soplan los vientos en diferentes direcciones. Si un piloto calculara su vuelo en función de la velocidad de avance, podría meterse en problemas. Necesita un mapa de la velocidad del aire para obtener un análisis adecuado de su trayectoria de vuelo.