Las traducciones, rotaciones y dilataciones se conocen como transformaciones conformales. Preservan los ángulos, y son especialmente relevantes para el caso de flujo incompresible en 2D: [matemática] {\ partial u_x \ over {\ partial x}} + {\ partial u_y \ over {\ partial y}} = 0 [/ math], donde [math] {\ vec u} (x, y) [/ math] es el campo de velocidad sobre el plano. Escribir el campo de velocidad como un gradiente de un potencial, [matemáticas] {\ vec u} = – {\ vec \ nabla} \ Phi [/ matemáticas], conduce a la ecuación de Laplace: [matemáticas] ({\ parcial \ sobre { \ partial x}} {\ partial \ over {\ partial x}} + {\ partial \ over {\ partial y}} {\ partial \ over {\ partial y}}) \ Phi = 0 [/ math]. Es conveniente reescribir la ecuación 2D de Laplace en términos de las variables complejas [math] z = x + iy [/ math] y [math] z ^ * = x -iy [/ math] para explotar la invariancia conforme: [ matemáticas] {\ partial \ over {\ partial z}} {\ partial \ over {\ partial z ^ *}} \ Phi = 0 [/ math]. El resultado es que cualquier función analítica [matemática] \ Phi (z) [/ matemática] es una solución a la ecuación de Laplace. Por ejemplo, el gradiente de [math] {\ rm Im} \, {\ rm sin} (z / a) [/ math] es un campo de flujo incompresible en 2D. Puede resolver problemas difíciles de valor límite de esta manera. Echa un vistazo a Mathews y Walker por problemas.
PS Una función analítica [matemática] \ Phi (z) [/ matemática] mapea el plano complejo a sí mismo de una manera que preserva el ángulo. Es, por lo tanto, una transformación conforme en 2D.
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