No estoy seguro de por qué esta pregunta se publica en “física”, pero lo ignoraré y responderé desde un punto de vista matemático.
TL; DR El Grassmannian Gr (n, k) es el conjunto de planos k-dimensionales que pasan por el origen en el espacio n-dimensional. Cuando se impone la geometría apropiada en este conjunto, es un objeto de importancia en geometría algebraica y diferencial, así como en combinatoria.
El ejemplo más simple de un Grassmannian es el siguiente: suponga que tiene el plano euclidiano, R ^ 2. ¿Cuál es el “espacio” de líneas a través del origen? Bueno, aquí hay algunos: uno de ellos es el eje x, otro es el eje y, pero de hecho también hay uno para cada número real (pendiente) k, es decir, la línea y = kx.
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Está claro que esto es todo de ellos. Las líneas rectas a través del origen están parametrizadas por números reales k, es decir, hay exactamente una línea para cada número real, es decir, con pendiente k e intercepción 0. Pero nos falta una: el eje y no se cuenta en esta parametrización , porque tiene pendiente infinita. Entonces, para resumir, el espacio de líneas a través del origen en el espacio euclidiano bidimensional son los números reales, junto con un elemento infinito añadido. Este es el Grassmannian Gr (1,2) sobre los números reales.
Este ejemplo particular de un Grassmannian se conoce como la línea proyectiva , o proyectivo 1-espacio, RP ^ 1. Ahora, el objetivo de este juego de esto es entender este espacio geométricamente . Hay varias formas de hacerlo. Aludimos a uno anterior: es la línea real, con algún tipo de elemento infinito agregado en alguna parte. ¿Dónde está este “punto en el infinito”? Debe estar cerca de los números reales grandes, porque el eje y está cerca de las líneas con pendiente muy grande (si perturba el eje y en sentido horario, se obtiene una línea con pendiente muy grande). Pero también es cierto que el infinito debería estar cerca de los números reales muy negativos, porque podemos perturbar en la otra dirección. Entonces, la línea real “se envuelve” en sí misma, y el punto donde los dos “extremos” se encuentran no es más que “infinito”. Para resumir, RP ^ 1 = Gr (1,2) es solo un círculo.
(Aparte: ¿cómo se ve CP ^ 1? Sugerencia: este espacio se llama esfera de Riemann ).
Otra forma de describir la línea proyectiva (y de hecho, de esta manera se generaliza mucho mejor, como veremos) es dar un atlas de gráficos afines . Podemos pensar en la línea proyectiva como dos copias de la línea real pegadas con una superposición. La primera copia proviene de las líneas de pendiente k, que son todas las líneas a través del origen que no sean el eje y. Luego, tenemos una segunda copia de los números reales si tomas las inversas de todas las pendientes de las líneas: esto te da alguna línea excepto el eje x (invertir la pendiente del eje y da cero, pero invertir el la pendiente del eje x da “infinito”, por lo que sacamos esta línea de la segunda colección). Estos dos “gráficos” son el “pegamento”, en el sentido de que el punto k en el primer gráfico puede identificarse con el punto 1 / k, ya que representan la misma línea, y = kx. Cada línea, excepto los dos ejes, se encuentra en dos de los gráficos: los ejes de cada línea en uno de los gráficos. La parte importante es que toda la línea proyectiva está cubierta por los dos cuadros.
En términos de que la imagen geométrica de la línea proyectiva secretamente es un círculo, puede pensar en dos puntos diametralmente opuestos del círculo que representan los ejes x e y, y los dos gráficos son las dos copias (topológicas) de lo real línea que obtienes al eliminar estos dos puntos. Esta idea de gráficos afines, por cierto, es fundamental para la geometría algebraica (construir variedades algebraicas, o más generalmente, esquemas ) y la geometría diferencial (construir múltiples).
Una tercera forma, menos geométrica pero quizás más concreta, de pensar en la construcción anterior en términos de coordenadas proyectivas . En cambio, se puede parametrizar las líneas a través del origen eligiendo un punto distinto de cero (x, y) en cada línea. Cada punto define exactamente una línea, pero cada línea se describe por un montón de puntos diferentes. Podemos pensar en un punto en la línea proyectiva como un par [x: y], con x e y no ambos cero, donde declaramos que dos puntos [x: y] y [x ‘: y’] son iguales si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro, para alguna constante c, tenemos x = cx ‘e y = cy’. Por ejemplo, [1: 2] y [-3: -6] representan el mismo punto de la línea proyectiva porque los puntos correspondientes en R ^ 2 definen la misma línea. Los ejes x e y corresponden a los puntos [1: 0] y [0: 1], respectivamente.
OK, entendemos Gr (1,2) en más formas de las que pensábamos que necesitábamos. Tomemos una dimensión.
Del mismo modo, podemos pedir líneas a través del origen en el espacio euclidiano tridimensional, o el espacio euclidiano n-dimensional, si nos sentimos lo suficientemente aventureros. Estos producen los Grassmannians Gr (1,3) y Gr (1, n), que también se conocen con los nombres RP ^ 2 y RP ^ (n-1) [tenga en cuenta la indexación]. RP ^ 2 se puede describir de manera similar a RP ^ 1: es el plano real habitual, pero en lugar de un “punto en el infinito”, ahora hay una “línea en el infinito”. Más exactamente, es la “línea proyectiva en el infinito”, que no es más que una copia de RP ^ 1. También tiene gráficos afines, pero ahora hay tres de ellos. ¿Ves lo que son? Este espacio también se puede describir en términos de coordenadas proyectivas [x: y: z], donde los triples [x: y: z] y [x ‘: y’: z ‘] son iguales si uno es un múltiplo escalar de otro.
Más generalmente, RP ^ (n-1), el espacio de mentiras a través del origen en n-space, es el espacio dimensional habitual (n-1) con un RP ^ (n-2) en el infinito. Está cubierto por n gráficos afines y puede describirse en términos de n coordenadas proyectivas.
OK, preguntaste sobre el Grassmannian, y hasta ahora solo te he dicho sobre Gr (1, n). ¡Así que tomemos una dimensión en el primer argumento! Preguntamos sobre líneas a través del origen, pero podríamos preguntar sobre planos a través del origen, o incluso hiperplanos (¡dimensión 2 y hasta a través del origen también!). Entonces, el Grassmannian Gr (k, n) es el conjunto de planos k-dimensionales a través del origen en el espacio n-dimensional.
Pero queremos hacerlo mejor: antes de Gr (1, n) no era solo un conjunto, sino que también tenía geometría, y teníamos algo similar para Gr (k, n). En este punto, creo que podría tener que abandonar la cuestión de los “términos simples” (si aún no lo he hecho) y simplemente dar un bosquejo aproximado usando álgebra lineal. Aquí está la idea.
Desafortunadamente, los Gr (1, n) eran demasiado especiales: realmente no tenemos la esperanza de extender este negocio de “línea en el infinito” limpiamente. Entonces tendremos que usar gráficos afines. Dibujaré la idea para Gr (2,4) y tal vez puedas ver qué hacer para los k y n generales. ¿Cómo se parametrizan los planos bidimensionales en el espacio bidimensional? Bueno, un plano a través del origen está determinado por dos vectores, que podemos llamar (a, b, c, d) y (e, f, g, h). Desafortunadamente, muchos pares de vectores que podrían describir el mismo plano. Pero la idea ahora es que puede tomar la matriz de 2 por 4 con filas (a, b, c, d) y (e, f, g, h) y ponerla en forma RREF; esto no cambia el plano, porque en cada paso de la reducción de filas solo tomamos combinaciones lineales. Suponiendo que (a, b, c, d) y (e, f, g, h) no están en la misma línea (otro problema del que debe preocuparse), la mayoría de las veces su RREF tiene filas (1,0, c ‘, d’) y (0,1, g ‘, h’): entonces, tienes “4 grados de libertad”, lo que te da un valor de R ^ 4s de 2 planos (¿ves por qué son todos? ¿diferente?). A veces, sin embargo, sus pivotes están en diferentes lugares. Hay 6 formas de distribuir los pivotes (¿por qué?), Y cada una te da una copia de R ^ 4. Dicho de otra manera, tiene 6 gráficos afines que se unen para darle un esquema de 4 dimensiones (múltiple). Este es Gr (2,4).
(Aparte: es muy importante que no terminemos con una fila de todos los ceros: sin embargo, si este fuera el caso, eso significaría que los dos vectores estaban en la misma línea para empezar. Más generalmente, nuestro k -by-n matriz de vectores de fila necesita tener rango k para definir un plano k).
En términos más generales, Gr (k, n) está cubierto por n-choose-k n (nk) -dimensional charts, que se pegan de alguna manera.
Resulta que también hay una manera bastante limpia de describir las coordenadas proyectivas para el Grassmannian, usando algo conocido como la incrustación de Plucker . (se supone que hay un umlat en la u, pero en este punto estoy cansado y no tengo ganas de descubrir cómo ponerlo). Aquí está la idea: comience con su matriz de vectores de fila 2 por 4 (más generalmente, k por n), y evalúe cada uno de los menores 2 por 2 (determinantes de submatrices 2 por 2), dando unas 6 tuplas Desafortunadamente, esta tupla de 6 depende de los vectores que elija para representar su plano en 4 espacios. Sin embargo, debido a que las operaciones de filas escalan simultáneamente menores, ¡esta tupla de 6 está bien definida hasta la escala! Entonces, para cada plano, obtienes un punto bien definido de espacio proyectivo de 5 dimensiones. (nota: 5 = 6-1).
En otras palabras, aquí hay un mapa Gr (2,4) -> Gr (1,6) = RP ^ 5. Ciertamente, este mapa no es sobreyectivo, porque Gr (2,4) es de 4 dimensiones y RP ^ 5 es de 5 dimensiones. Pero es inyectiva (de ahí la palabra “incrustación”), y la imagen recorta una variedad proyectiva (esquema) en un espacio proyectivo de 5 dimensiones.
El Grassmannian es un ejemplo temprano de un espacio de módulo en geometría algebraica: parametriza “naturalmente” algunos objetos que nos interesan, a saber, los planos k-dimensionales en el espacio n-dimensional. Una cierta gran clase de problemas enumerativos en geometría algebraica, que forman el tema del cálculo de Schubert , se reducen a la comprensión de la teoría de la intersección en Grassmannianos. Un ejemplo “simple” es el siguiente: dadas cuatro líneas “genéricas” en un espacio tridimensional, ¿cuántas líneas puedes dibujar que golpeen las cuatro? (Respuesta: 2). El Grassmannian como múltiple (en oposición a una variedad / esquema) también es un objeto importante en la geometría diferencial, aunque sé menos sobre este campo, por lo que no diré más aquí.
Finalmente, a los combinatorios también les gusta estudiar el Grassmannian. ¡Una cosa loca que puedes hacer es preguntar sobre los planos k-dimensionales en el espacio n-dimensional, no sobre los reales o los complejos, sino sobre campos finitos! Esto proporciona un análogo discreto del Grassmannian, y gran parte de la teoría de los análogos q proviene de la combinatoria del Grassmannian. Los coeficientes q-binomiales, por ejemplo, solo cuentan el número de puntos en Gr (k, n) sobre un campo finito del elemento q (este es un ejercicio divertido en álgebra lineal / combinatoria si tienes el fondo y no lo has visto) antes de.)
Finalmente, otra pregunta que puede hacer en combinatoria es la siguiente: considere la inclusión de Plucker Gr (k, n) -> P ^ (C (n, k)). Puede preguntar sobre su cono no negativo (teniendo un poco de cuidado porque hay que recordar que los puntos de imagen solo se definen hasta la escala): es decir, observe todos los puntos de Gr (k, n) que tienen todos los puntos de corte no negativos coordenadas Esto se llama Grassmannian totalmente no negativo , que ha sido un gran tema en la combinatoria algebraica y áreas relacionadas en los últimos años (comenzando con el trabajo de Postnikov en alrededor de 2006).
En realidad, se me ocurrió que a los físicos les importa el TNN Grassmannian, pero no sé por qué. Tal vez eso explica las etiquetas.
