¿Es insostenible el sistema actual de academia de matemáticas? Los estudiantes estudian muchas matemáticas en pregrado, aprendiendo lo suficiente como para tener una base sólida para la investigación. En la escuela de posgrado, abordan un problema de investigación, utilizando las matemáticas que aprendieron en la universidad.

Como un principiante relativo que mira, creo que la amplitud del conocimiento matemático se está expandiendo tanto, si no más, que su profundidad.

Las matemáticas difieren de otros campos científicos en que los teoremas pueden probarse definitivamente una vez en lugar de ser “probablemente verdaderos” durante miles de experimentos. Sin embargo, las matemáticas también tienen la ventaja de estar completamente construidas. La mayoría de las matemáticas modernas gira en torno al estudio de objetos con definiciones artificiales que simplemente se han asentado con el tiempo en formas “suficientemente naturales” (por ejemplo, espacios topológicos, grupos abstractos). Ahora tenemos cuasicategorías, funciones L, etc., cuyos estudios asociados todavía están en la infancia relativa.

Ocasionalmente, con el tiempo, podríamos etiquetar ciertos campos como completamente explorados (por ejemplo, geometría euclidiana, teoría de números elementales). Sin embargo, uno puede continuar trabajando en las consecuencias masivas de los campos “serios” (el triunvirato de análisis, álgebra, topología), o divergir y producir un trabajo igualmente novedoso en teoría de grafos, teoría de juegos combinatorios y otros estudios artificiales (que no existen más artificial que el triunvirato). En el peor de los casos, podríamos simplemente elegir diferentes axiomas de ZFC y derivar una matemática alternativa a partir de eso.

Una cuestión aquí puede ser la idea de “investigación significativa”. Creo que el problema es que la investigación fuera de los campos “serios” no se considera importante, razón por la cual toda la maquinaria y las torres de teoremas / definiciones se han concentrado allí. También es la razón por la cual la experiencia en matemáticas de pregrado pone el dominio de los fundamentos de los tres campos como esenciales para una educación matemática. Ambos seguirán cambiando con el tiempo (en una era pasada, la geometría euclidiana y la teoría de los números elementales fueron las únicas matemáticas que valieron la pena), y será en los campos eminentes del futuro donde las personas resolverán problemas de investigación y obtendrán doctorados.

También hay una implicación del didacticismo en su pregunta, de “nunca usar un teorema del cual no entienda la prueba”. Este enfoque es presumido por los libros de texto de pregrado, que proporcionan pruebas concisas de cada resultado utilizado para completar. Sin embargo, según tengo entendido, este deseo ya no es sostenible a nivel de posgrado. Los resultados matemáticos son buenos ya que décadas de trabajo se pueden resumir en declaraciones compactas listas para usar.

Empíricamente hablando, la investigación matemática continúa. La gente cita resultados que no tienen esperanza de probarse a sí mismos, y eso está bien. Algunos incluso podrían decir que ese es el punto.

Nota: * Hay * problemas más grandes con respecto al futuro de la academia (aquellos que no son específicos de las matemáticas) que no he discutido.

Descargo de responsabilidad: soy un estudiante de pregrado a quien se le pidió que respondiera. Mis declaraciones pueden estar en desacuerdo con las realidades de la comunidad matemática.

Como ex matemático aspirante que pasó un tiempo en un programa de posgrado de matemáticas puras en una escuela estadounidense decente pero no la mejor, diría dos cosas:

1. Con formulaciones más limpias llegando a más de las cosas buenas, y las matemáticas son tan vastas como es y se expanden como lo hace (lo hace de una manera particular), las matemáticas nunca serán así para que los estudiantes graduados carezcan de antecedentes para investigar .

A los estudiantes de posgrado en estos días se les enseña una perspectiva sobre problemas históricos que ha sido altamente refinada a lo largo de los años. Esta perspectiva tiende a consistir en lo que es lógicamente necesario incluso para leer la literatura actual. Por ejemplo, Poincare ciertamente conocía la topología algebraica en términos de grupos, múltiples e invariantes informáticos, pero la formulación actual de categoría teórica y homológica-algebraica realmente surgió en la década de 1950.

Los expertos en diversos campos siempre están repensando y reformulando el conocimiento “introductorio”, adecuado para poner a sus colegas al día en “una cantidad razonable de tiempo”, y olvidando cosas inútiles. Creo que esto es suficiente para que los estudiantes se pongan al día también, por lo que no me preocuparía que a los estudiantes graduados les falte suficiente experiencia.

¿Creemos que “una cantidad de tiempo razonable” se extenderá en los últimos 2-3 años desde el inicio de un programa de posgrado, como es el caso actualmente? Bueno, hay muchas matemáticas que puedes hacer incluso con el conocimiento de un estudiante graduado, especialmente en campos interdisciplinarios. La matemática es tan vasta (¡la gente olvida esto!) Que siempre habrá problemas de interés (por pequeños que sean) en muchos niveles de dificultad.

Las matemáticas también se expanden en los bordes. El trabajo interdisciplinario y la “importación” de herramientas de personas súper súper inteligentes, sin ninguna intención de comprender las herramientas, crean nuevas áreas de matemáticas.

Al contrario de lo que pueda pensar, los expertos no saben ni recuerdan cómo cada (!) Resultado que utilizan está comprobado (incluso a un nivel intuitivo). En cambio, saben lo suficiente como para resolver lo que pueden resolver. Además, solo trabajan en problemas que pueden resolver con el conocimiento que pueden encajar en sus pequeñas cabezas colectivas.

Al contrario de lo que puedas pensar, ¡las matemáticas son muy propensas a las modas! No es una montaña alta la que simplemente escalas para una carrera. Es un paisaje siempre cambiante, mutado y destruido por la totalidad de los resultados que la comunidad de investigadores ve y no ve. Los campos se calientan y los campos se juegan. De hecho, muchos jóvenes profesores recién titulados (entre los 30 y los 40 años) probablemente obtuvieron su mandato mientras montaban una ola. ¡Eso sucedió en mi antigua escuela! Es decir, las matemáticas son una actividad humana: siempre lo ha sido, y creo que siempre lo será.

2. No se espera que los estudiantes de posgrado superen los límites de nada realmente interesante durante la escuela de posgrado y no durante otros 10 años más o menos después de graduarse, al menos en los EE. UU., Por lo que siempre tendrán “antecedentes suficientes” para investigar.

Me dijeron que los viejos profesores establecían la agenda con grandes programas y conjeturas, y tal vez dan un ejemplo o dos que elaboraron que guían su intuición, además de producir resultados “duros”. Por el contrario, se les pide a los jóvenes profesores que completen los detalles y aprendan cómo hacer los cálculos correctamente, y que produzcan una serie de resultados herméticos aunque solo ligeramente interesantes. Combine esto con el hecho de que las escuelas estadounidenses ejercen una intensa presión sobre los estudiantes recién graduados para que publiquen regularmente (un buen registro es 1 periódico regular y 1 periódico bueno por año), y obtiene profesores recién titulados que no han hecho nada terriblemente interesante . Y eso está bien.

Un ejemplo: geometría algebraica
Tenía compañeros de clase que hicieron esto, pero no lo hice.
Un horario desde el comienzo de la escuela de posgrado:
1-2 años en álgebra, álgebra conmutativa, álgebra homológica, teoría de categorías y conocimiento inicial de posgrado
1-2 años leyendo las primeras secciones de “Geometría algebraica” de Hartshorne y otros libros introductorios estándar
1-2 años de lectura adicional (documentos, monografías, libros) para afinar en una clase de problemas
1-2 años resolviendo un pequeño problema que a nadie le importa
¡Graduado!
Pero durante las últimas dos partes del título de posgrado, usted no acaba de “terminar” los libros que comenzó. Continuamente los recordará, a las secciones más avanzadas, a reformulaciones más duras y poderosas de las mismas ideas. Continuarás leyendo. Leerás partes de SGA y EGA de Grothendieck, algunos artículos recientes, una monografía o dos. Cualquier cosa que tenga que resolver para resolver un problema que sea ligeramente interesante para la comunidad de geometría algebraica.

Otro ejemplo: hipótesis de Riemann y análisis complejo clásico
Casi muerto porque es demasiado difícil.

Otro ejemplo: Conjetura ABC: ¿probada?
Un matemático japonés-estadounidense realmente inteligente, Shinichi Mochizuki, ha proporcionado una prueba de la Conjetura ABC, pero ha rechazado todas las solicitudes para dar conferencias sobre ello a sus colegas. La prueba está contenida en una gran monografía (500 páginas) de matemáticas súper densas y nuevas que inventó, y nadie quiere pasar tiempo estudiándola y verificando la prueba.

(cf. La paradoja de la prueba)

Lo que debe deducir de esto no es una respuesta definitiva a sus preguntas. Abriste una lata de cuestiones y preguntas interesantes sobre la naturaleza de la investigación matemática pura. Solo quiero decir que debería ver la investigación matemática como ante todo una actividad humana, no una lucha arbitraria contra la complejidad.

La forma en que leo la pregunta, y la parte que me parece interesante, es la siguiente: cada vez es más difícil y requiere mucho tiempo dominar los conocimientos necesarios para realizar investigaciones a la vanguardia de las matemáticas. ¿Podría ser que se volverá tan difícil que el progreso en la investigación matemática se detendrá?

Creo que esto es teóricamente posible, pero poco probable. Ciertamente, hoy es más difícil para un joven de 19 años producir resultados originales asombrosos que para Gauss o Galois, pero hay espacio para el optimismo;

• Nuestra esperanza de vida continúa mejorando, al igual que la calidad de vida general. Dentro de cien o quinientos años, los humanos pueden vivir y aprender y pensar pensamientos originales, por mucho más tiempo de lo que pueden hoy.
• Encontraremos formas de aumentar nuestra capacidad intelectual. Las computadoras ya son muy útiles en algunas áreas de la investigación matemática; considere lo que podría suceder cuando comenzamos a asimilar dispositivos computacionales en nuestros propios cerebros vivos.
• Los humanos continuarán evolucionando y nuestros cerebros mejorarán. No está claro si esto todavía está sucediendo realmente (la presión evolutiva no es lo que solía ser), pero durante largos períodos de tiempo, probablemente lo hará.
• Las matemáticas no solo se vuelven más profundas, sino que también se amplían. La investigación matemática actual incluye partes que son una continuación directa de la investigación realizada en los siglos XIX y XX, pero también incluye partes que son completamente nuevas y busca respuestas a preguntas que ni siquiera se hicieron hace unas décadas.

A juzgar por el crecimiento del contenido matemático y la investigación en el siglo XX, creo que la tendencia actual es bastante positiva.

De todos modos, no creo que esto tenga mucho que ver con “el sistema de la academia de matemáticas”, que en realidad creo que está bastante optimizado para llevar a tanta gente a las fronteras del conocimiento de la manera más eficiente posible.

A2A. No creo que esté contribuyendo mucho a las respuestas ya presentes, pero cumpliré con la solicitud.

En primer lugar, el objetivo de los programas de doctorado en matemáticas es capacitar a las personas para que dominen las matemáticas lo suficiente como para hacer una investigación original. El requisito de tesis significa que los doctorados necesariamente han aprendido suficientes matemáticas para crear al menos una pieza de investigación original.

Entonces, queremos considerar el problema de qué pasa si en el futuro hay tantas matemáticas que aprender antes de acercarse a las fronteras del conocimiento que obtener un doctorado lleva inaceptablemente largo. No veo que esto suceda en el futuro previsible.

Una razón es que las teorías matemáticas bien formadas son mucho más fáciles de aprender que de crear. Por ejemplo, hay una buena posibilidad de que sepa más sobre la teoría de Galois y en un nivel más profundo y refinado que el propio Galois para cuando tenga 20 años. Tal es la naturaleza de las buenas teorías matemáticas.

Otra razón es que la investigación matemática es frecuentemente sobre más ancho que profundidad. Se cree ampliamente que se necesitan nuevas teorías o nuevas técnicas para resolver problemas como el problema P versus NP o la conjetura de Collatz. ¿Las nuevas ideas para estos problemas requerirán una gran profundidad de conocimiento matemático? Nadie lo sabe, pero desde mi experiencia de ver cuán poderosa puede ser la educación de pregrado, dudo que estos nuevos trabajos estén fuera del alcance de los estudiantes de posgrado.

Personalmente, creo que no tiene sentido preocuparse por lo que sucederá en matemáticas dentro de 500 años.

Pero si realmente comienza a pensar en ello y vuelve a los fundamentos, se dará cuenta de que las matemáticas no se parecen en nada a otras materias. (Las ciencias usan las matemáticas para que no cuenten).
Las matemáticas son un tema autosuficiente, los estudiantes que investigan lo hacen por elección consciente. Realmente quieren contribuir a sus campos, quieren dejar una huella en el mundo, de lo contrario, ¿por qué elegirían elegir un campo de estudio tan riguroso como las matemáticas?

Lo que debe comprender es que las matemáticas son un campo de ideas y, como tal, están completamente sustentadas por las ideas de personas que se dedican conscientemente a contribuir a ellas. También es en el mundo real, donde se pueden utilizar ideas como la deuda o el conteo de tarjetas. Donde el precio de la gasolina fluctúa constantemente internacionalmente como resultado de Medio Oriente, simplemente por la idea de alguien de una economía global y la implementación activa de la Organización Mundial del Comercio.

Entonces, para llevarlo todo a casa, me gustaría terminar señalando que, mientras exista un “mundo real”, siempre habrá una necesidad de matemáticas. El ejemplo directo es la utilidad de la teoría de juegos en la economía moderna y cómo ha permitido una mejor toma de decisiones y un entorno competitivo más justo para las empresas.

Entonces, para simplificar aún más, las matemáticas son útiles para el mundo real = las matemáticas siempre están presentes.

Espero que esto sea útil, y trata de no preocuparte por las cosas que no te afectan directamente.

Saludos cordiales

Puede ser insostenible simplemente porque la sociedad solo puede soportar que un porcentaje de la población sean matemáticos que realizan investigación académica. Pero, al menos la última vez que lo revisé, el asesor académico promedio de doctorado tiene más “hijos” de doctorado (estudiantes que obtienen un doctorado) que la persona promedio tiene hijos normales. Con un mayor exponente en el número de doctorados académicos, en algún momento habrá demasiados para que la sociedad los apoye.

Una solución debe ser que más estudiantes de doctorado no ingresen a la investigación académica o que cada asesor debe aconsejar a menos estudiantes de doctorado o alguna combinación.

El sistema ya ha sido modificado, y sigue siéndolo: cosas como álgebra moderna, teoría de la prueba, combinatoria y teoría de grafos se han incorporado al plan de estudios de pregrado muy recientemente. Y muchos campos además de las matemáticas también se están expandiendo muy rápido, lo que requiere una profundidad similar. La investigación biológica es una que viene a la mente.

No creo que sea insostenible, pero tal vez solo soy un optimista (por cierto, soy un estudiante universitario). Mis razones:

• No tiene que construir su investigación desde cero, y las matemáticas se han vuelto altamente colaborativas. Los resultados anteriores pueden guiar su investigación y ayudar a definir su problema con mucha claridad. Los teoremas de otras personas se pueden usar para simplificar lo que estás trabajando. Si comprende las implicaciones de algún resultado, no tiene que conocer la prueba en detalle para usarla. Caso en cuestión: usando el teorema de cuatro colores o el último teorema de Fermat.
• La investigación de ayer se convierte en el plan de estudios de pregrado de hoy (está bien, en realidad no. El plan de estudios de pregrado se queda atrás, pero no creo que no sea insostenible lejos). El desorden de investigar un problema desaparece cuando se enseña. Los profesores docentes pueden simplificar los resultados que tomaron meses o años probar en una investigación original en una sola (a veces algunas) conferencias.
• No estoy seguro acerca de las universidades en general, pero muchos estudiantes de primer año y segundo año realizan investigación supervisada en mi escuela, y no es raro que los estudiantes de tercer y cuarto año soliciten fondos de investigación independientes. Uno de mis amigos está investigando técnicas de prueba por computadora en este momento. La curva de aprendizaje es empinada y, durante la mayor parte del período (o verano), puede estar poniéndose al día con la literatura y haciendo tareas de programación para un profesor. Pero nunca es demasiado temprano para obtener una exposición de investigación, y la velocidad a la que puedes aprender cuando realmente estás en un entorno académico es … bastante increíble.

No lo creo. En primer lugar, permítanme decir que no estoy realmente calificado para responder pero me lo pidieron, así que lo intentaré de todos modos.

Una cosa sobre las matemáticas que la separa de la ciencia y la ingeniería es que está (en cierto sentido, al menos) completamente inventada. Esto no quiere decir que sea arbitrario ni nada. Simplemente quiero decir que lo que se puede definir como “matemáticas” es extremadamente amplio; en realidad, las matemáticas son solo el estudio de sistemas formalmente definidos, por lo que cualquier nuevo sistema formalmente definido es parte de las matemáticas.

Esto puede ser obvio, pero creo que mucha gente lo echa de menos, porque realmente cuando aprendes matemáticas pasas mucho tiempo haciendo una simple progresión: el álgebra proviene de la aritmética, y la trigonometría proviene del álgebra y la geometría, y el cálculo proviene de álgebra y trigonometría, el álgebra lineal es una extensión del álgebra, las ecuaciones diferenciales y muchos análisis provienen del cálculo, y el álgebra abstracta y similares (en gran parte) se basan en el álgebra lineal.

Esto puede hacer que parezca que las matemáticas son una progresión simple y una progresión que se hace cada vez más larga. En realidad, y especialmente una vez que ya ha pasado por la progresión que acabo de decir, muchas áreas de las matemáticas simplemente fueron inventadas (a menudo en gran parte iniciadas por una persona, de hecho) y luego integradas en el resto de las matemáticas. Uno de los triunfos de las matemáticas es que los matemáticos han hecho un excelente trabajo al integrar varias áreas de las matemáticas entre sí. Pero las diversas áreas de las matemáticas provienen de puntos de partida muy diferentes, y hay muchas más áreas de matemáticas de las que enumeré en mi progresión simple. En algunos casos (la informática teórica, por ejemplo), la inspiración del campo proviene de una fuente completamente fuera de las matemáticas.

Un problema con la forma en que las personas piensan acerca de las matemáticas que los no matemáticos creo que a menudo extrañan es que solo tenemos una palabra para matemático-matemático. En estos días, la “informática teórica” ​​aparece a veces, pero en su mayor parte, se agrupan muchas cosas muy diferentes. En ciencia, podrías llamar a alguien “científico”, pero también lo llamarías “físico” o
“químico” o “biólogo” o lo que sea, mientras que casi nunca escuchas a alguien referido como un “teórico de números” o “lógico” (bueno, de hecho, escuchas eso ocasionalmente, pero solo ocasionalmente) o “topólogo”. Si las personas no aprenden todas las matemáticas, está bien, porque las matemáticas son tan grandes y dispares que no necesitan hacerlo.

Mucho de cómo y qué aprendemos está cambiando en la era de Internet. La “comprensión” y las “intuiciones” en temas abstractos en Matemáticas y Ciencias se discuten y escriben una y otra vez de forma “gratuita” para que cualquier estudiante serio, independientemente de su edad, pueda aprender lo que quiere, cuando quiere y en cualquier medida .

Con todo esto para nosotros, creo que la mente humana evolucionará. Los conceptos que eran más difíciles de comprender en el aula, no divulgados / compartidos por los compañeros e incluso los maestros (a veces incluso podrían no tener claridad sobre los asuntos) se aprenderán y aplicarán fácilmente. Esto a su vez forzaría un cambio curricular, con suerte, por lo que los temas más avanzados se introducen temprano. A su vez, obtendríamos los beneficios de hombres y mujeres mejor pensados. Sé que sueno anormalmente positivo, pero simplemente no veo que vaya de otra manera. La única otra posibilidad es un escenario del fin del mundo cuando volvemos a las cuevas, que están tan lejos del status quo actual del mundo que podemos ignorarlo por ahora.

Para responder a la pregunta, no, no creo que el sistema de doctorado cambie. Los humanos simplemente habrían desarrollado cerebros y tecnología para abordar los problemas de investigación.

Los investigadores en matemáticas hoy pasan varios años aprendiendo, pero varias décadas investigando, avanzando en el campo. Tiene sentido que, cuando el campo ha avanzado significativamente, llevará más tiempo alcanzar los límites. Sin embargo, este pensamiento se basa en varios factores que no cambian.

Una población en crecimiento produce más genios capaces de avanzar en el campo. Se prevé que nuestra población disminuya y, por lo tanto, el crecimiento del campo en 500 años puede no ser tanto como pensamos.

Nuestra capacidad de aprender puede mejorarse mediante mejores métodos de enseñanza o un aumento de la inteligencia de la población, lo que reduciría el tiempo para convertirse en investigador.

A medida que avanza la investigación, los estudiantes tendrán que especializarse cada vez más y, por lo tanto, la cantidad de personas capaces de colaborar o revisar puede disminuir. Esto tenderá a retrasar el progreso. Por el contrario, si la tecnología ayudara a la colaboración, eso ayudaría. Si las personas encontraran una manera de compartir y no entrar en “silos”, para “polinizar” más, esto ayudaría a avanzar.

Sí, hoy en día la mayoría de los doctorados en matemáticas están haciendo investigaciones en interdisciplina. Esto se debe principalmente a que es realmente difícil producir nuevos resultados significativos en matemáticas. Pero todavía hay un pequeño número de ellos que están realmente interesados ​​en la investigación teórica que desarrolla nuevas teorías ahora. No creo que el departamento de matemáticas sea inestable.

Realmente no tengo ninguna base para esto, pero lo que creo que sucedería es que los estudiantes comenzarían a aprender matemáticas a edades cada vez más tempranas. Supongo que era menos común que estudiantes universitarios múltiples ingresaran a la universidad con conocimientos prácticos de álgebra / análisis hace veinte años. Entonces, supongo que la pregunta es qué sucede cuando las personas comienzan tan temprano y, sin embargo, todavía no pueden hacer ningún avance para cuando llegan a la escuela de posgrado. Creo que para cuando esto suceda, los biólogos y neurólogos habrán encontrado una manera de extender las habilidades cognitivas humanas para que puedas estar en la escuela de posgrado durante 50 años o algo así. O eso o el mundo llegará a su fin y tendremos mayores problemas en los que pensar.

Lo dudo. La inmersión las 24 horas del día, los 7 días de la semana en un tema puede llevarlo de un trabajo básico a un nivel de doctorado sorprendentemente rápido (18 meses como máximo).

La era de la hiperespecialización significa que el estudiante graduado promedio necesita tener menos información que nunca antes. Por ejemplo, puedo hacer todo mi trabajo con solo un conocimiento superficial de biología celular, bioquímica, etc., mientras que habrían sido esenciales para cualquier biólogo experimental de hace 50 años. Sospecho que en 500 años, el cuerpo de conocimiento que un estudiante necesitaría para poder hacer un trabajo novedoso en su campo sería aún más estrecho, pero la cantidad de información requerida probablemente sería la misma.

No creo que esto sea un problema.

En la escuela, aprendemos teoremas y proposiciones que no existían hace 100 años. Por ejemplo, la función de máxima verosimilitud de Fischer solo existe durante 70 años y, sin embargo, es realmente fácil comprender la teoría detrás de ella.

Así que no te preocupes, las matemáticas inventarán nuevas ramas para explorar.

El conocimiento que ha aprendido es suficiente para investigar, a menos que no tenga un buen maestro de él. En el área de las matemáticas, lo único que hace que no puedas avanzar un paso gigante es que no tienes un maestro de las cosas más simples. Puedes resolver algo con poco conocimiento, sin embargo, si quieres hacer buenas matemáticas, necesitas más conocimiento y muchos más ejercicios. Para comprender mejor el conocimiento, necesita leer, pensar y concluir.
El único cambio posible en 500 años será el sistema de conocimiento en sí mismo, en lugar de la forma de llevarlo a cabo.

En cuanto a la última parte de la cuestión de cambiar el sistema de doctorado: por supuesto, cambiará porque es la naturaleza del mundo, nada se queda, ya que algún día cambiará.

Para la primera parte: la investigación generalmente requiere que comience desde cero en un nuevo tema o, si el tema ya está investigado, tal vez podría investigar para optimizarlo. Lo que estoy tratando de decir es que estás comenzando algo nuevo, por lo que conocer de memoria todos los conceptos básicos de matemáticas podría no ser tan útil porque sería una distracción porque estás tratando de relacionarte con algo que sabes que podría ser imposible porque la investigación trata sobre descubriendo un nuevo método o una teoría