Estas identidades son fáciles de probar directamente escribiendo explícitamente grad, curl y div en términos de derivadas parciales y utilizando la igualdad de los parciales mixtos.
Como parece darse cuenta, también podemos usar el teorema de Gauss y el teorema de Kelvin-Stokes. Si [math] f [/ math] es un campo escalar y [math] S [/ math] es una superficie orientable con buen comportamiento, entonces
[math] \ int_S (\ nabla \ times \ nabla f) \ cdot d \ mathbf {a} = \ int _ {\ partial S} \ nabla f \ cdot d \ mathbf {l} = 0 [/ math]
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porque la integral de línea de un gradiente alrededor de una curva cerrada siempre es cero, y hemos aplicado el teorema de Kelvin-Stokes. Si [math] \ mathbf {v} [/ math] es un campo vectorial y [math] V [/ math] es un volumen con buen comportamiento en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] entonces
[matemáticas] \ int_V \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {v}) \, d \ tau = \ int _ {\ partial V} (\ nabla \ times \ mathbf {v}) \ cdot d \ mathbf { a} = 0 [/ matemáticas]
donde hemos aplicado el teorema de Gauss y luego el teorema de Kelvin-Stokes nuevamente, ya que [matemática] \ parcial V [/ matemática] es una superficie cerrada y, por lo tanto, no tiene límite.
Como [math] \ nabla \ times \ nabla f [/ math] aparentemente se integra a cero en cada superficie y [math] \ nabla \ cdot (\ nabla \ times f) [/ math] se integra a cero en cada volumen, podemos concluir que ambos son cero.
Para el geómetra diferencial, estas identidades se derivan del hecho de que las operaciones grad, curl y div son realmente la derivada exterior (hasta subir y bajar índices). El rizo del gradiente de [math] f [/ math] es
[math] \ nabla \ times \ nabla f = [\ star \ mathrm {d} (\ mathrm {d} f)] ^ \ sharp [/ math]
y la divergencia del rizo de [math] \ mathbf {v} [/ math] es
[matemática] \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {v}) = \ star \ mathrm {d} (\ mathrm {d} \ mathbf {v} ^ \ flat) [/ math]
y ambos desaparecen porque [math] \ mathrm {d} ^ 2 = 0 [/ math].
